Dulcibric-à-brac

Pythagore (encore !)

Indépendamment des légendes et de l'aura de merveilleux qui entoure le personnage de Pythagore, il demeure que l'échelle musicale qui porte son nom, la gamme dite de Pythagore ou intonation pythagoricienne, a été utilisée pendant des siècles, pratiquement depuis le VI^ème siècle avant notre ère jusqu'à la fin du Moyen-Âge. On ne peut donc pas s'intéresser à la musique ancienne, et en particulier à la musique médiévale, sans avoir quelques notions à ce sujet.

La philosophie des pythagoriciens dépasse le propos de cet article, mais il est bon de rappeler que cette école soutenait l'idée d'une relation entre les nombres et l'ordre universel, dont la musique fait partie. Pour ce qui nous concerne, tout ou à peu près est résumé dans le symbole mystique de la tétraktys (ou tétrade, ou encore tetractys de la décade) qui est un triangle équilatéral de quatre unités de côtés avec 10 points arrangés en 4 rangs de 1, 2, 3 et 4 points:

(1+ 2 + 3+ 4 = 10).

Entre autres interprétations, ce symbole cacherait les rapports harmoniques des intervalles de quarte (3:4; 3 au dessus de 4), de la quinte (2:3; 2 au dessus de 3) et de l'octave (1:2; un au dessus de 2) [Note: n'oublions pas que les grecs comptaient en longueurs de cordes vibrantes et non en fréquences, d'où l'inversion des rapports qui nous sont familiers...]. On n'a pas besoin de plus de nombres pour comprendre la gamme de Pythagore et la musique de plusieurs siècles, et même le 4 est superflu, en tant que puissance de 2. Il a fallu attendre le XV^ème siècle et la Renaissance pour sortir de ce "carcan" musical.

Voici donc à quoi devait ressembler l'intonation pythagoricienne. La méthode de calcul des intervalles ayant déjà été expliquée et utilisée à deux reprises dans des articles précédents (voir Intervalles en fréquences du 03/03/2018 et Ton, tontaine et demi-ton du 30/03/2018 ), on ne va pas y passer la journée. Simplement, et pour ne pas s'empétrer dans les notes, on part d'une fondamentale qui (forcément) est à l'unisson d'elle-même (rapport 1:1) et on multiplie ce rapport par 3:2 pour trouver la première quinte, puis encore par 3:2 pour trouver la seconde, etc. (panneau A sur la figure ci-dessous). En théorie, on devrait pouvoir superposer 7 quintes successives (q1-q7) et 5 octaves avant de retomber sur ses pieds:

Comme la plupart des intervalles trouvés sortent de l'octave de référence (octave 1), on enlève le nombre adéquat d'octaves pour ramener un intervalle dans l'ambitus de référence (panneau B) en divisant son rapport par la puissance de 2 correspondante: 1 pour l'octave 2 (2¹), 4 pour l'octave 3 (2²), 8 pour l'octave 4 (2³) et 16 pour l'octave 5 (2⁴). C'est ce que les anciens grecs appelaient division du diapason ( gr. diapason = lat. octave). La gamme diatonique est obtenue (panneau C) en replaçant les intervalles dans l'ordre des rapports croissants.

Le septième calcul donne, après réduction, un rapport de 2187:2048 = 1,0678..., soit ≈ 114 cents, un peu plus que l'unisson, mais un peu moins que le premier intervalle (9:8 = 1,125, soit ≈ 204 cents). Contrairement à ce qu'on aurait pu attendre, le septième calcul ne tombe pas juste à la fondamentale de l'octave 5. De fait, aucun nombre de quintes pures superposées ne peut correspondre précisément à un nombre entier d'octaves, car les nombres 2 et 3 sont premiers entre eux. On trichera donc en prenant le rapport d'octave pur de 2:1. Par rapport à la fondamentale, qui est à l'unisson d'elle même (1:1), on obtient :

Comme on l'a fait pour la gamme d'Archytas (voir Ton, tontaine et demi-ton du 30/03/2018), on peut faire dériver un certain nombre d'intervalles supplémentaires par différence entre l'octave et/ou la quinte et nos intervalles calculés. Ainsi:

On a ici les 13 intervalles habituels de la musique médiévale, de l'unisson à l'octave, tels qu'énumérés d'une part par un auteur anonyme vers 1290 et par Jacques de Liège (v. 1260 - après 1330) autour de 1325.

La gamme de Pythagore est une gamme diatonique, avec cinq tons pleins (T) et deux demi-tons diatoniques (d), dans une séquence bien précise, comme le montre la figure ci-dessous  (panneau D):

On voit tout de suite ce qui n'allait pas dans le septième calcul plus haut: toutes les quintes, comme par exemple 1-5 (fa-do), comportent 3 tons pleins T et un demi-ton d (3 x 204 + 90 = 702 cents) , alors que la quinte 4-1' (si-fa') comporte seulement deux tons pleins T et deux demi-tons d (2 x 204 + 2 x 90 = 588 cents) . Elle est plus courte que les autres, et pas qu'un peu. La multiplication par 3:2 est donc inadaptée à ce dernier calcul et nous amène trop loin de 114 cents. Notez bien cette valeur; elle ne va pas tarder à prendre du sens.

Mais venons en aux notes. Le mode lydien (fa-fa') ou mode V du chant grégorien était une échelle musicale très populaire dans la période gothique (panneau E). La fondamentale est fa. Sur un dulcimer traditionnel, le mode lydien commence avec la fondamentale (ou tonique) sur la frette 6. Je prépare un article dédié aux modes du dulcimer.

On remarque que cette gamme s'écrit avec des notes non altérées. La gamme diatonique qui nous est plus familière et qu'on appelle aujourd'hui do majeur commence, elle, avec le do en position 5 du mode lydien et imite les deux tétracordes disjoints (TTd) du genre diatonique grec ancien (voir Sur la corde du 06/02/2018), avec des notes extérieures distantes d'une quarte (do-fa' et sol'-do') joints par un ton plein (T Td T TTd):

Pour évaluer les qualités de cette intonation, je rappelle ici les deux dimensions des intervalles musicaux. Horizontalement, la successsion des intervalles entre les notes constitue la ligne mélodique. C'est elle qui permet de reconnaître un air, quelque soit la note de départ. Verticalement, les "empilements" de deux ou plusieurs notes jouées simultanément forment ce que nous appelons aujourd'hui des accords, constitutifs de l'harmonie:

Voici l'air bien connu de "Ah vous dirais-je maman" synthétisé avec les fréquences déduites de l'intonation de Pythagore, en partant d'un do3 = 261,63 Hz (fichier mp3 réalisé avec ToneGénérator et Audacity):

Habituée au tempérament égal, mon oreille tique sur la plupart des intervalles horizontaux: la quinte initiale (do-sol) me paraît trop haute, de même que le ton montant (sol-la) puis descendant (la-sol). Pareil dans la redescente vers le do final: le demi-ton diatonique fa-mi semble trop petit et les tons pleins mi-ré et ré-do trop grands. D'où une impression de déséquilibre et de fausseté, une fois le morceau terminé. Et pourtant ...

Pourtant, avec un ton plein généreux de 204 cents et un demi-ton diatonique plutôt étroit de 90 cents, la gamme pythagoricienne offre des contrastes expressifs pour les mélodies de l'époque médiévale. Ce système d'accord convient parfaitement à la monodie grégorienne par exemple, pensée comme un "dialogue avec la résonance, dans une perspective mystique".

Cette vidéo permet d'entendre un exemple de chant grégorien: Viderunt omnes, chanté par l'ensemble Hilliard:

Verticalement, les repères dont nous disposons aujourd'hui pour juger de la qualité d'un intervalle sont les rapports de fréquences des harmoniques naturelles d'un son (plus à ce sujet dans un prochain article). On sait déjà que la note à l'octave a pour fréquence le double de la fondamentale (f_do1 x 2 = f_do2). Le rapport de quinte juste correspond au triple de la fréquence fondamentale (f_do1 x 3 = f_sol2), indépendemment du fait qu'on doive lui retirer une octave pour avoir sol1. La fréquence de la tierce majeure est 5 fois celle de la fondamentale (f_do1 x 5 = f_mi3) dont on retire ensuite deux octaves pour obtenir mi1. En multipliant par 9 la fréquence fondamentale on obtient la seconde mineure ou ton (f_do1 x 9 = f_ré4) dont on retire trois octaves pour avoir ré1. Enfin, en multipliant par 15 la fréquence fondamentale, on obtient la septième majeure (f_do1 x 15 = f_sib4) dont on retire 3 octaves pour avoir si♭1. L'intonation de Pythagore tombe juste pour l'octave, la quinte, la seconde et la septième majeures.

Sans parler de l'unisson (qui n'est pas un intervalle), l'octave, la quinte et forcément la quarte, qui est leur différence, sont des intervalles idéalement euphoniques (même si la quarte est un peu moins bien perçue que la quinte). Ils associent des sons qui se mélangent agréablement et donnent une impression de repos, d'harmonie et de stabilité. Par conséquent, ce sont des intervalles stables, qui constituent la trame de la polyphonie médiévale et qui, a ce titre, ne sont pas limités en durée à l'intérieur d'une pièce musicale.

Pour évaluer la dimension verticale d'une intonation, il faut pouvoir disposer de notes émises simultanément par deux (au moins) voix differentes. Parallèlement au chant grégorien, le haut Moyen-Âge voit se développer une sorte de chant à plusieurs voix appelée organum, dans lequel la voix principale (lat. vox principalis) est accompagnée par une ou deux voix organales (lat. vox organalis) en parallèle, l'une (aiguë) à la quinte supérieure du chant et l'autre, grave, à la quarte inférieure, comme illustré ci-dessous:

 L'organum parallèle est surtout décrit dans les Tropaires de Winchester (v. 1000) qui en contient de l'ordre de 160 pièces.

Dans son (De) Musica écrit vers 880, Hucbald de Saint Amand (v. 850-930) explique la consonance comme "une fusion rationnelle et harmonieuse de deux sons, dont la formation nécessite leur émission simultanée dans une seule et même performance vocale". Hucbald distingue à l'époque six consonances, trois simples (quarte, quinte et octave) et trois composées (les mêmes redoublées à l'octave).

L'octave scindée en quinte et quarte superposées est un intervalle stable qui dure d'un bout à l'autre de la phrase. Cette combinaison est trouvée dans des sources écrites du IX^ème siècle et existait sans doute encore bien avant. Elle est toujours considérée au XIII^ème siècle comme l'unité d'harmonie multi-vocale complète - le théoricien Jean de Grouchy (v. 1255 - 1320) l'appelle trina harmoniae perfectio (litt. triple perfection de l'harmonie) - avec une préférence, pointée par Jacques de Liège pour la quinte inférieure et la quarte supérieure (à l'inverse donc de la figure).

Mais attention! Dans la gamme diatonique, pratiquement toutes les suites de quatre notes (do-fa, ré-sol, mi-la, sol-do, la-ré et si-mi) sont constituées de deux tons et un demi-ton (diatonique), mais la suite fa-si comporte trois tons pleins. C'est une quarte augmentée (A4) ou triton. A chanter en quartes et/ou en quinte, on risque de tomber sur le triton fa-si ou sur son complément à l'octave, le semitriton ou quinte diminuée si-fa (d5), tous deux considérés à l'époque comme des dissonances parfaites. Ce sont des intervalles au plus haut niveau d'instabilité, introduisant le plus fort degré de nervosité et de tension dans la musique.

L'introduction d'intervalles instables parmi les intervalles stables qui constituent la trame de la polyphonie crée une tension qui, à son tour, appelle un soulagement, donc un retour à la stabilité. Cet appel est d'autant plus fort, et l'urgence de l'apaisement d'autant plus grande, que la tension introduite est plus élevée (voir degrés 1 à 3 du tableau ci-dessus). On nomme cet apaisement résolution et, dans cette opération, l'intervalle instable évolue vers l'intervalle stable le plus proche. Dans la musique médiévale et de la Renaissance, la résolution finale d'une phrase s'appelle une cadence.

Dans le Micrologus (1025) Guido d'Arezzo recommande l'introduction de la seconde et de la tierce majeures dans l'organum pour donner un peu de liberté à la voix organale, jusqu'alors figée dans les quintes et/ou les quartes. Une nouvelle forme d'organum dite organum oblique se généralise. On en trouvait déjà des exemples au IX^ème siècle dans le Musica enchiriadis (v. 890) d'un auteur anonyme. Un exemple caractéristique est illustré par les extraits ci-dessous (VP: voix principale, VO: voix organale):

Dans ce cas précis, l'instabilité est introduite en début de phrase, quand les deux voix à l'unisson se séparent par un mouvement oblique, d'abord sur une M2, puis une M3 qui se résout en quarte, créant un effet de bourdon. Ensuite seulement s'établit le mouvement parallèle à la quarte et ce mouvement parfaitement reposant se termine sur un unisson tout aussi calme.

Noter le départ des mouvement sur do (première ligne) et sol (deuxième ligne). Ce sont les degrés d'appui les plus fréquemment utilisés pour raison d'euphonie, car ils sont simultanément à la base d'une M2 (do-ré, sol-la), d'une M3 (do-mi, sol-si), d'une quarte juste (do-fa, sol-do') et d'une quinte juste (do-sol, sol-ré'). Les notes ré et la sont à écarter parce qu'elle servent de point d'appui à des m3 (ré-fa, la-do) dont l'emploi est fortement déconseillé à cette époque. Les notes si et mi sont carrément proscrites parce qu'elles servent d'appui non seulement à des m3 (si-ré, mi-sol) mais surtout à des m2 (si-do, mi-fa) formellement interdites. Fa sera plus tard ajouté à la liste des degrés d'appui recommandés, quand l'invention du si bémol permettra d'éviter le triton fa-si (A4) et son complément, tout aussi dissonant, si-fa' (d5).

Cette vidéo permet d'entendre l'organum oblique dans sa totalité, chanté par l'ensemble Capella Duriensis au monastère de Sao Pedro da Ferreira (Portugal):

Dès le XI^ème siècle, l'organum s'enrichit grandement du mouvement contraire, qui préfigure le contrepoint de la Renaissance. Une voix monte quand l'autre descend. Les deux peuvent même se croiser. L'accompagnement crée ainsi une seconde mélodie en contrepoint de la ligne principale. Dans le déchant (lat. discantus) ou organum libre, l'accompagnement devient la voix supérieure plus importante, soutenue par la mélodie liturgique (lat. cantus firmus = chant ferme) qui passe à la voix inférieure et prend le nom de ténor ( = teneur, celui qui tient). Cette flexibilité demande d'ajouter des points d'articulation réalisés par de nouveaux intervalles instables. A son aboutissement, ce type d'organum admettra des tierces et des sixtes comme consonances, imparfaites sans doute, mais consonances quand-même.

Voici un exemple tiré du manuscrit anonyme Ad Organum Faciendum (litt: de la manière de faire l'organum). Ce texte, conservé à Milan, date de la fin du XI^ème siècle (v. 1100).  La polyphonie y est appliquée au début (lat. incipit) de l'Alleluia et du verset Iustus ut palma... (illustrés ci-dessous). Le reste est chanté en monodie et n'est pas représenté:

C'est un organum libre où les consonances parfaites de quarte, quinte, octave et unisson forment des mouvements parallèles (ex. 4 5 4 5 5, 5 4 4 5, etc), interrompus par des mouvements contraires où les voix se séparent et se rapprochent (ex. 5 8 4, 5 8 5, 4 1 4, 4 1 5, etc.).  

La pièce commence par un Alléluia (première ligne ci-dessus) dont le mouvement démarre sur une octave. On trouve ensuite un si bémol. Bon sang mais c'est bien sûr! L'intervalle fa-si est le fameux triton. Le bémol est là pour abaisser le si et produire une quarte de deux tons plus un demi-ton. Vade retro!  L'Alleluia se termine sur une vocalise de la voix organale, appelée mélisme, tandis que la voix principale maintient (cantus firmus) le mi en bourdon jusqu'à l'unisson final.

Vers le milieu de la deuxième ligne (ut pal-ma ...), les deux voix se croisent. La voix organale passe sous la voix principale avant de faire un bond d'une dizaine de notes du La au do'. En plus de m6, la suite du mouvement montre des m3 qui se résolvent en octaves et un occursus (ou occursio = motif terminal) complexe en mouvement contraire m6-M3-m6-octave. On trouve encore un si bémol dont on se demande cette fois ce qu'il vient faire ici (m3 à la 7ème note de la troisième ligne), d'autant plus que M3 est en général plus appréciée que m3 à cette époque.

Ce style est à l'origine de l'un des genres polyphoniques les plus marquants des XII^ème et XIII^ème siècles: le conduit. Cette vidéo permet d'entendre l'intégralité de cette polyphonie:

Ceci préfigure l'organum mélismatique, ou organum fleuri, qui apparaît en Aquitaine (Saint Martial de Limoges, entre autres) vers 1100 et se développe vers le milieu du XII^ème siècle. Il est basé non plus sur le simple point contre point, note pour note (lat. punctus contra punctum) de voix parallèles, mais sur un déchant où chaque note de la mélodie est tenue par la voix principale, pendant que la voix organale déroule des vocalises pouvant contenir jusqu'à vint notes. Cette technique est principalement documentée dans le traité Ars organi du Vatican (v. 1170). Les tierces et les sixtes sont de plus en plus présentes.

Au XIII^ème siècle, le conduit utilise le procédé de l'organum fleuri et de cette combinaison naît un genre nouveau, le motet. La musique exploite audacieusement le spectre complet des intervalles de l'intonation pythagoricienne, du plus harmonieux au plus agressif et discordant. La quarte va perdre du terrain au profit des tierces qui finiront par l'emporter à la Renaissance, où d'autres intonations vont prendre le dessus aux dépens de l'intonation pythagoricienne. Cependant, les mélodies se déroulent toujours horizontalement et la dimension verticale ne fait  que se deviner. Si les cadences doivent faire entendre des consonances plus ou moins parfaite, les rencontres de notes entre les cadences ne sont pas encore soumises à des règles particulières (ce que nous appellerions aujourd'hui règles d'accords).

Les consonances sont alors rigoureusement décrites et cataloguées par des théoriciens comme Jacques de Liège et Jean de Grouchy: consonances parfaites (unisson, octave, quinte, quarte), consonances imparfaites (les tierces), dissonances imparfaites (seconde et sixte majeures, septième mineure) et dissonances parfaites (demi-ton diatonique, septième majeure, triton, sixte mineure).

- Et le si bémol?
- Quoi, le si bémol?
- Comment est-il arrivé là? D'où sort-il?
- Ah oui, le si bémol!  Euh..., une autre fois peut-être?

Dans l'attente, voici un organum fleuri à deux voix (organum duplum) interprété par l'ensemble Diabolus in Musica. Ecoutons bien comment la voix principale (grave) chante une mélodie grégorienne dont les notes sont prolongées, tandis que la voix organale (plus haute) déroule ses vocalises:

Organum Duplum: Alleluia, hic Martinus

 A+

Bijou

Comme l'indique son petit nom, Bijou est sans conteste le plus beau dulcimer de ma collection, mais aussi le plus difficile à jouer, ce que j'expliquerai plus loin.

Bijou a été fabriqué en mars 1997 par Mr. Michael MacClelland, luthier de son état à Mobile (prononcer moubil) dans l'Alabama, au beau milieu de la côte du Golfe (celui du Mexique).

Mr McClelland étant un facteur de guitares, ses dulcimers ne sont pas contruits sur un plan très traditionnel. La table d'harmonie, par exemple, est soutenue par des entretoises longitudinales en biais, ou si l'on préfère, en éventail, qui ne sont pas sans rappeler les barrages des tables d'harmonie des guitares classiques et acoustiques. De même, l'utilisation de galons (en anglais: bindings) en bois exotique, en renfort des joints d'éclisses avec la table d'harmonie et le fond, rappellent la facture de certaines guitares.

Mr McClelland fabrique ses dulcimers de A à Z, de la bille de bois à l'instrument fini. Il n'utilise que du bois massif et suffisamment âgé. Chaque instrument est donc unique. Celui-ci porte le numéro 21 dans l'ordre de construction, et fait partie d'une série dite "à méandre celtique bleu" dont il existe aussi un exemplaire à méandre rouge, à ma connaissance.

Bijou en quelques chiffres:  la longueur totale est de 92 cm et la VSL (Vibrating String Length) de 68,2 cm (26 7/8"). La caisse de résonance fait 5,8 cm de hauteur. Le sablier a un lobe inférieur (max 21 cm) beaucoup plus large que le lobe supérieur (max 16 cm) avec un tour de taille de 11 cm dans sa partie la plus étroite. Le tout donne un volume de cavité de pratiquement 6 litres, pour un poids d'à peine 1 kg. La raison en est la finesse des plaques en bois léger et une touche évidée en forme de U renversé.

La table d'harmonie est en cèdre (western red cedar, Thuya plicata) massif, coupé en ailes de papillon (en anglais: bookmatched). Le fil du bois est extrèmement droit et l'espacement des cernes est très régulier.

Les ouïes, en forme de virgules, plus petites dans la partie supérieure du sablier, sont la marque de fabrique de McClelland Woodworks. J'ai récemment vu une vidéo dans laquelle Don Pedi joue sur un dulcimer McClelland, reconnaissable à ses ouïes (le dulcimer, pas Don Pedi...;-).

Le fond et les éclisses sont en nogal (peruvian/tropical walnut = Juglans spp.), un noyer tropical dont le bois de cœur tend à être d'un brun plus foncé (chocolat) que les noyers tempérés (nogal est le nom espagnol du noyer). Le fond est également monté en ailes de papillon. La finition vernie rend l'instrument si luisant qu'il est difficile de prendre des photos à cause des reflets.

 La touche est aussi en nogal, avec une couverture en acajou. Elle comporte des frettes surnuméraires: les frettes 6+ et 13+ qui sont maintenant pratiquement standards, mais aussi la frette 1+, beaucoup plus rare et qui nous éloigne un peu plus de l'instrument diatonique traditionnel. C'est mon unique dulcimer avec une frette 1+ et j'avoue que sa présence me perturbe et me fait faire pas mal de fausses notes...

Les galons bordant les éclisses sont en ébène. Bijou arbore de plus quelques jolis motifs de marquetterie. La marque stylisée MC pour McClelland figure sur la tête, au dessus des clés d'accordage, et le motif bleu en méandre celtique court sur presque toute la longueur de la touche.

Les sillets de tête et de chevalet sont en os.

La  tête est plate, de type guitare, et les clés à haut rapport rendent l'accordage extrèmement facile. Alors pourquoi Bijou est-il si difficile à jouer ?

Son grand volume de caisse, son faible poids et la nature des bois sont certainement responsables d'une très grande réactivité, mais ce dulcimer semble aussi contenir une tension, une énergie interne telle que le moindre frôlement, le moindre contact des doigts sur la touche crée un bruit de fond qu'il faut réussir à maîtriser. Le rendu dans les basses est plutôt dominant et doit être maîtrisé. C'est un dulcimer extrèmement sonore ou tout est amplifié: le choc intempestif d'une corde contre une frette, le glissement des doigts le long des cordes, etc. Jouer sur ce dulcimer est un exercice constant d'application pour éviter des bruits parasites qui passent inaperçus sur d'autres instruments plus lourds. C'est une excellente école pour acquérir un doigté léger.

Ecouter Bijou dans ses œuvres (et pardon pour les bruits de doigts...):

Noter cette autre entorse au plan général des dulcimers: les cordes sont fixées à l'extrémité de la touche et ne viennent pas s'ancrer sur un cordier, habituellement porté par le bloc terminal.

Le chevalet est relativement éloigné de l'extrémité de la touche, ce qui peut aussi contribuer au niveau sonore produit par l'instrument. Du coup, le strum hollow (je ne sais toujours pas comment le nommer en français) est plus court.


Bref, un instrument magnifique, mais plutôt ingrat.

A+

Ton, tontaine et demi-ton

Dans un article précédent (Intervalles en fréquences, du 03/03/2018), je construisais une gamme fondée uniquement sur les rapports épimores du type 2:1, 3:2, 4:3, 5:4 etc. En me documentant plus avant, j'ai appris que cette gamme avait été découverte par le pythagoricien et ami de Platon Archytas de Tarente (435/440-360? av. J.C.), ami de Platon et disciple de Philolaos, par ailleurs connu pour ses études sur le vol des oiseaux et la construction d'une machine qu'il appelait lui-même le Pigeon Volant. Voilà pour la vérité historique.

J'en rappelle rapidement le principe de construction, qui est celui de toute gamme naturelle. Il consiste à prendre un multiple entier d'une fréquence fondamentale, ce que nous appelons aujourd'hui un harmonique (ou partiel) et à le ramener dans l'ambitus en retirant un nombre entier n d'octaves en divisant le résultat par 2ⁿ. Par exemple pour l'octave (2:1), on prend deux fois la fréquence fondamentale et on divise par 1 puisque 2⁰ = 1. Pour la quinte (3:2), on prend trois fois la fréquence fondamentale et on divise par 2¹ = 2. Pour la tierce majeure (5:4), on prend 5 fois la fréquence fondamentale et on divise par 2² = 4. Le ton majeur (9:8) répond aussi à ce schéma avec 9 fois la fréquence fondamentale et un retrait de 3 octaves (8 = 2³) - en fait c'est le plus haut rapport épimore qui rentre dans ce jeu.

Bien qu'exprimée elle-même par un rapport épimore, la quarte (4:3) a un statut différent, puisqu'en multipliant une fréquence fondamentale par 4 on obtient la super-octave d'icelle, dont la division par 2 nous ramène à l'octave. La tierce mineure (6:5) est à mettre dans le même sac que la quarte, car le numérateur est aussi un multiple de 2 (octave) et le dénominateur aussi un nombre impair d'octaves. On peut cependant les calculer par différence entre des intervalles purs (quarte = octave - quinte, et tierce mineure = quinte - tierce majeure).

Ce n'est pas la seule raison de mon retour sur cette gamme, qui va me permettre d'introduire le système musical en usage de nos jours, à savoir la gamme (bien) tempérée ou à tempérament égal et le système des cents. Pour cela, je reviens quelques instants sur les rapports de fréquences dans la gamme d'Archytas, qui s'avère beaucoup plus complexe et moins innocente qu'elle n'en avait l'air au départ .

Déjà, le demi-ton diatonique, contrairement à ce que dit son nom, ne fait pas la moitié d'un ton. En élevant au carré le rapport 25:24 on trouve 625:576 = 1,085, qui est plus petit que le ton majeur (9:8 = 1,125). Mais ce n'est pas tout!

Entre la tierce mineure (6:5) Do-Ré-Ré#, par exemple, et le ton ou seconde majeure Do-Ré (9:8), on trouve l'espace Ré-Ré# qui a pour rapport 6:5 ÷ 9:8 = 48:45, qui se réduit en 16:15 (épimore) = 1,066... C'est le demi-ton chromatique. Comme le demi-ton diatonique déjà décrit, il est plus petit que le ton, et deux demi-tons chromatiques ne font pas plus un ton entier que deux demi-tons diatoniques. Nous voila donc avec deux sortes de demi-tons. Le demi-ton diatonique qui sépare deux notes de noms différents (exemples: Ré#-Mi, Mi-Fa) et le demi-ton chromatique, un peu plus long, qui sépare deux notes de même nom, dont l'une est altérée (notre exemple ici: Ré-Ré#).

Pis encore: si l'intervalle Ré#-Mi correspond bien à un demi-ton diatonique de même valeur qu'entre Mi-Fa et Si-Do, la somme Ré-Ré# (demi-ton chromatique) + Ré#-Mi (demi-ton diatonique) est de 16:15 * 25:24 = 400:360, qui se réduit en 10:9, rapport épimore encore différent du ton majeur (9/8). Nous voici maintenant à la tête d'un grand ton (9:8, par exemple Do-Ré) et d'un petit ton (10:9, par exemple Ré-Mi)!

On remarque au passage que le petit ton (Ré-Mi et La-Si) précède toujours le demi-ton diatonique (Mi-Fa et Si-Do'). Le petit ton est lui-même la somme d'un demi-ton diatonique (25:24) et d'un demi-ton chromatique (16:15):

Ne pourrait-on mettre un peu d'ordre dans tout ça?

Dans l'histoire de la musique, on note de très nombreuses tentatives pour trouver la gamme parfaite. On peut citer la gamme de Pythagore ou celle de Zarlino, dont je reparlerai à propos de la musique ancienne. Certaines de ces tentatives ont abouti à des systèmes musicaux qui ont pu perdurer pendant plusieurs siècles, d'autres ont échoué dès le départ. Aucun de ces modèles n'est parfait et cela a généré un travail constant de reprises et de modifications. On appelle tempérament un moyen de tempérer les imperfections de ces modèles.

Une solution a été trouvée au XVII^ème siècle, avec la gamme dite tempérée, ou à tempérament égal. Le principe consiste à diviser l'octave en douze demi-tons égaux. Les premières tentatives d'une telle division nous font remonter à Vincenzo Galilei (1520-1591 - le papa du "grand" (Galileo) et musicien/luthier de son état) et à Marin Mersenne (1588-1648), déjà connu de nous pour ses lois de l'acoustique. On doit finalement au mathématicen flamand Simon Stevin (1548-1620) d'avoir identifié la formule nécessaire pour calculer la taille de 12 demi-tons égaux, d'une attirante simplicité: le demi-ton vaut la racine douzième de 2 (2^1/12) (environ 1.05946) qui, lorsqu'on la multiple douze fois de suite par elle-même (ce qui revient à faire la somme de douze de ces demi-tons) donne 2^12/12 = 2¹ = 2, c'est à dire le rapport des fréquences de l'octave.

C'est sur ce modèle que sont accordés nos instruments modernes et qu'est composée la musique dans laquelle nous baignons quotidiennement par les médias. Notre oreille y est tellement habituée aujourd'hui que des gammes comme celle d'Archytas nous semblent lègèrement (ou fortement, selon les sensibilités) fausses. Pourtant il n'y a pas plus de justesse dans le tempérament égal que dans n'importe quel autre modèle, peut-être même moins. Seuls les octaves y sont des intervalles mathématiquement justes, avec leur rapport de fréquences égal à deux. Tous les autres intervalles, les quintes, les quartes, les sixtes etc. etc. sont plus ou moins légèrement "faux" par rapport aux lois de l'acoustique. On peut comprendre que ce tempérament n'ait finalement été accepté que tardivement par la communauté des musiciens.

Un autre point qui mérite d'être traîté ici est le système de comparaison des intervalles entre eux. Jusqu'ici, j'ai utilisé les rapports de fréquences, mais il faut bien admettre que cette représentation n'est pas très parlante. Notre esprit est plus habitué à mettre côte à côte des objets de différentes hauteurs pour pouvoir les comparer. Au premier coup d'œil, je peux dire que ma maison est moins haute que Notre Dame. Il est donc temps d'introduire le système linéaire des cents, plus facile à manipuler que les rapports de fréquences.

Dans le tempérament égal, le cent est par définition la centième partie du demi-ton. Autrement dit, un demi-ton vaut 100 cents, un ton vaut 200 cents et l'octave qui contient douze demi-tons vaut 1200 cents. Jusque là c'est donné. Pour trouver la mesure en cents de n'importe quel rapport de fréquences, nous exprimons d'abord ce rapport comme une puissance de 2 (c'est à dire qu'on calcule son logarithme en base 2 - la calculette de mon ordinateur fait ça très bien), et on multiplie le résultat par 1200. Pour deux fréquences f1 et f2 (f2>f1):

Pour un grand ton (9:8) de la gamme d'Archytas par exemple, ma calculette donne un log₂ = 0,169925..., et en multipliant cette valeur par 1200 j'obtiens 203,91... cents, soit ≈ 204 cents en arrondissant. Un grand ton de 9:8 est donc très légèrement supérieur en hauteur (de 4 cents) au ton (200 cents) de la gamme tempérée. La comparaison devient vraiment très aisée.

Comment ça marche? Le truc vient de l'octave dont le rapport de fréquences est 2:1, soit 2. Le log₂ de 2 vaut 1 et en multipliant 1 par 1200 on trouve qu'une octave vaut 1200 cents. Voilà, c'est tout!

Il existe une autre unité, moins souvent utilisée mais qui sert le même but. C'est le savart, du nom de Félix Savart (1791-1841). Selon un principe analogue, l'intervalle en savarts entre deux fréquences f1 et f2 (f2 > f1) est égal à 1000 fois le logarithme décimal de leur rapport:

Le logarithme décimal de 2 est 0,301... Après arrondi l'octave correspond donc à peu près à 301 savarts et on arrondit souvent le savart à 1/300ème d'octave. Donc un demi-ton fait 300/12 = 25 savarts et re-donc un savart vaut sensiblement 4 cents (en fait, 3,986...).

Pour que tout soit bien clair, je compare dans le tableau qui suit les intervalles de la gamme d'Archytas et ceux de la gamme tempérée d'aujourd'hui, avec leurs valeurs en cents (j'ai rajouté les tons et demi-tons manquants):

On comprend mieux ainsi pourquoi la gamme d'Archytas semblait si curieuse à l'oreille.

Pour notre plus grand soulagement, le petit ton est effectivement plus petit que le grand. C'est sur cette découverte scientifique majeure que je m'arrête pour aujourd'hui.

A +

Laura Elder

Depuis mon lit de douleur (voir Interlude, du 18/03/2018), j'ouvre une nouvelle catégorie d'articles consacrés aux artistes en relation, de près ou de loin, avec le duclimer des Appalaches (et sans doute aussi d'autres instruments chers à mon cœur).

Laura Elder ouvre la série, mais c'est un pur hasard. Il n'y a pas de choix ni de classement dans l'ordre de ces articles, simplement des circonstances qui font que j'ai plus de documentation, par exemple, ou que je suis justement en train de travailler un morceau écrit ou ré-arrangé par un-tel ou une-telle.

J'ai découvert le travail de Laura Elder en farfouillant dans les archives des ballades irlandaises. Son interprétation de Wild mountain Thyme, chanson écrite en 1957 par Francis McPeake (nous dit Wikipedia) m'a paru particulièrement émouvante et sensuelle et j'ai voulu en savoir un peu plus sur cette dulcimériste, par ailleur chanteuse, auteure et compositeure (je crois qu'il faut écrire comme ça maintenant, quand il s'agit d'une dame).

Voici le lien vers la vidéo Youtube de cet enregistrement:

Elle est aussi très convainquante dans cette interprétation de Blackest Crow, une vieille lamentation sur la séparation des amants, répandue dans les Appalaches et les Ozarks:

 Il y est question de "cœurs de verre" (glass breasts), symbole de la fragilité des sentiments, et du plus noir des corbeaux (blackest crow) qui deviendrait tout blanc si la fidélité et la sincérité de l'aimé(e) venaient à être mises en doute.

 Mais les vidéos qui m'ont particulièrement impressionné sont celles où elle interprète au dulcimer le thème des Gaels du film Le dernier des Mohicans, soit seule:

soit en concert (Harmony Harvest):

On ne voit pas de fumée sortir du dulcimer mais je pense que le point d'ignition n'était pas loin d'être atteint...!

Laura Elder est originaire de, et vit à Lancaster dans l'Ohio. D'abord considérée comme venant du monde "celtique" et jouant du dulcimer des Appalaches (Mountain Dulcimer ou MD pour les intimes) depuis 1991, on peut la décrire aujourd'hui plus largement comme une artiste nord-américaine traditionnelle et une chanteuse folk.

Aux alentours de 2012, elle faisait partie d'un trio de filles nommé Evening Rose. Laura Elder y jouait du dulcimer des Appalaches et de la guitare et chantait. Kathy Smith jouait du dulcimer à marteaux (notre cymbalum ou tympanon, descendant de la fameuse "doulce melle") et de divers instruments à vent (clarinette, saxophone) et Cindy Wolfinger jouait de la guitare, de la mandoline et du banjo, ainsi que diverses percussion, dont le fameux bodhran irlandais.

Il est relativement difficile de trouver des informations sur ce trio, car avec Evening Rose comme mots clés, Google vous envoie chez Estee Lauder pour acheter du parfum, vous assurant que Evening Rose évoque une femme forte et sûre d'elle mais qui sait rester féminine.

J'ai malgré tout déniché la page Internet du trio celtique Evening Rose dont on n'a plus trace d'activité à partir de juillet 2012. Je crois comprendre que Cindy Wolfinger avait de gros problèmes de santé. Il existe un album sur CD produit en 2008 chez Lone Raven Studio intitulé Christmas Rose, dont je n'ai pas retrouvé de trace commerciale. Un autre album sur CD intitulé The Meeting Of the Waters est toujours en vente, semble-t-il, chez  Prussia Valley Dulcimers, mais ils ne font pas d'expédition hors U.S. (sur la photo de couverture Laura est à droite).

Plus récemment, on retrouve Laura Elder dans le groupe Square Thirteen, du nom d'un des quartiers de Lancaster. C'est apparemment un quartier touristique avec des maisons d'époque, dans les styles de la Nouvelle Angleterre, du Sud et de Philadelphie, et un peu le centre de la culture des Appalaches.

 Au moment de la parution de l'album Simple Song, Square Thirteen était composé de Craig Heath, issu de la musique gospel, de Laura Elder venant du monde de la musique celtique, de Jeff Branham de tradition bluegrass et de Barbie, membre nouvellement arrivé avec une compétence plutôt vocale. L'album fait fusionner les guitares acoustiques, le dulcimer des Appalaches et une basse électrique avec des voix et un son "de montagne" intéressant, dit la critique. Le groupe a fait une tournée en Irlande en 2016.

Un autre album, Snow Globe, est consacré à des chant de Noël locaux et est en vente chez Prussia Valley Dulcimers. Il est référencé chez Amazon.fr mais pas en stock, avec une date de livraison selon disponibilité.

Pour se faire une idée, on peut toujours écouter librement deux titres de Square Thirteen sur leur SoundCloud: Just A Simple Song et Scattered Pictures.

Pour revenir à Laura Elder, elle est l'auteure de deux titres originaux sur l'album Simple Song des Square 13: The Fallen Tree, dont un remix a été posté sur Youtube:

et Better Homes:

 Voici le lien vers la page Facebook de Laura Elder et sa page Youtube où on trouvera a nombre conséquent de vidéos et de clips audio.

Elle a aussi une page SoundCloud où on peut écouter une quinzaine de titres, et sur sa page Fandalism, on trouve les clips de deux de ses principales compositions: Her Life (2007) et Better Homes (qui est sur l'album Simple Song des Square Thirteen), ainsi qu'un enregistrement audio de Black Mountain Rag, en duo avec Bing Futch (à qui je consacrerai prochainement un article).

Personnellement, j'aime beaucoup celle-ci (The Pedestal), où la simplicité et la pureté du son, aussi bien vocal qu'instrumental, ne le disputent qu'à la banalité du récit. De l'art de faire un petit bijou musical d'une chose, somme toute, insignifiante:

Je terminerai sur cette note de dextérité et ce que peut offir un dulcimer McSpadden entre de bonnes mains (Linus and Lucy):

Bonne écoute et A+

Interlude

Mes fidèles lecteurs auront remarqué une longue pause dans l'envoi de mes messages. La raison en est une rencontre fortuite entre une voiture et ma personne sur un passage clouté. J'ai bien essayé de lui expliquer les règles élémentaires de la priorité en ville, mais rien n'y a fait. Comme elle était beaucoup plus forte et plus rapide que moi, il a bien fallu aller aux urgences....

Nous vivons des temps étranges. Heureusement que je pouvais encore me relever tout seul, car les occupants du véhicule étaient déjà suffisamment occupés à vérifier l'état de leurs chromes et n'avaient pas trop de temps à me consacrer. Leur agressivité à mon égard était aussi en contradiction avec mon bon droit et dénotait le mépris de l'automobiliste (le pot de fer) pour le piéton (le pot de terre). Aujourd'hui les gens réagissent émotivement au lieu de penser. Je constate avec tristesse que nos sociétés modernes, dites civilisées, reviennent à un état sauvage plus proche de l'Animal (que je respecte, lui) que de l'Honnête Homme. C'est tout aussi vrai dans la réalité que dans le cybermonde.

Je suis donc plus occupé pour le moment à soigner mes plaies et mes bosses, physiques et morales, qu'à rédiger des articles sur le dulcimer, fût-il des Appalaches. D'autant que la partie la plus charnue de mon individu fait partie des victimes et m'interdit de rester longtemps assis devant mon ordi ou un dulcimer sur les genoux...

J'ai bon espoir que les choses s'arrangent sous une semaine, alors "haut les cœurs" et en avant la musique!

A+

Intervalles en fréquences

Fréquences et intervalles sont liés dans le langage courant. D'un évènement qui se reproduit avec une certaine fréquence, ne dit-on pas qu'il revient à intervalle régulier? Ce deuxième article consacré à la théorie musicale devrait préciser quelques termes et notions effleurées dans le premier (voir Sur la corde, du 06/02/2018), notamment les notions de période, fréquence, longueur d'onde et hauteur d'un son. Il sera temps ensuite de définir différents intervalles entre les notes, et les valeurs qu'ils peuvent prendre.

Le son est, répétons-le, un signal périodique: il se reproduit identique à lui même sur un intervalle de temps régulier et la période (T) est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit. T s'exprime en unités de temps (seconde, minute, heure etc...). C'est le temps mis pour que le phénomène périodique redevienne identique à lui-même.

Par exemple, le balancier d'une horloge se balance inlassablement de droite à gauche, puis de gauche à droite. C'est un mouvement périodique. En prenant sa position extrème à gauche comme point de départ, la période est le temps qu'il met pour faire un balancement complet et revenir à gauche, exactement au même point qu'à l'étape précédente. Si le balancier met, disons, 2 secondes pour effectuer un aller-retour (tic-tac) complet, la période du balancement est T = 2 secondes.

La fréquence f est le nombre de périodes dans l'unité de temps choisie. L'unité de fréquence est le hertz (abrégé Hz = périodes par seconde). Si le balancier de l'horloge fait un aller-retour en 2 secondes, alors en une seconde il fait la moitié (1/2) d'un aller-retour, ce qui correspond à f = 1/T. La fréquence du balancier est donc de 0,5 Hz.

Ne soyez pas étonné.e.s si vous n'entendez pas le son émis par le balancier à cette fréquence (et non!  le tic-tac ne vient pas de là ;-). L'oreille humaine peut percevoir des sons entre 20 et 20000 Hz, avec une perception optimale vers 1000-3000 Hz en principe. La bande passante des téléphones est comprise entre 300 et 3000 Hz, celle de la voix humaine entre 100 et 300 Hz pour les hommes et 200-600 Hz pour les femmes. Voilà encore un domaine où la parité aura du mal à s'installer, même avec le point-milieu ...

En musique, les sons correspondant aux notes ont des fréquences beaucoup plus élevées que le balancier de la pendule. Le La3 du piano a une fréquence de 440 Hz et donc une période de 1/440 = 0,00277 seconde, de l'ordre de quelques millisecondes. Une corde de guitare émettant cette note vibre au départ en repassant par sa forme initiale 440 fois par seconde, de sorte qu'on ne la voit plus que floue. Bien sûr, après quelques instants, l'amplitude du mouvement diminue et le son meurt, mais la fréquence reste la même jusqu'au bout. Le Mi grave de la contrebasse est à 42,2 Hz et le Do aigu du piano à 4186 Hz.

Si la période d'une oscillation est le temps mis par la corde pour effectuer une oscillation complète, la longueur d'onde (λ, à ne pas confondre avec la longueur de la corde, même si les deux sont liées) est la distance parcourue par le son en une période. La vitesse c* (pour célérité) de propagation du son est donc c = λ/T (= distance parcourue ÷ temps mis pour la parcourir). La longueur d'onde du son (λ) et la longueur (L) d'une corde en vibration varient proportionnellement:

où k est un nombre entier dont on verra la signification plus tard, quand il sera question d'harmoniques.

En réduisant de moitié la longueur de sa corde, Pythagore, sans le savoir, réduisait également de moitié la longueur d'onde du son et, donc, multipliait par deux sa fréquence, car f = c/λ. En augmentant la tension de la corde ou en prenant une corde moins "lourde", on augmente la vitesse de propagation c et donc, à longueur égale de corde, on augmente la fréquence du son.

Galilée (1564-1642) a clairement établi, sans doute le premier (mais est-ce bien important?) que la hauteur du son dépendait uniquement du nombre de vibrations dans un temps donné, et que les autres paramètres, tels que les longueurs de cordes ou leur tension, n'étaient que des corollaires à cette loi. Dans l'incapacité de compter ces vibrations, beaucoup trop rapides pour les moyens de l'époque, il n'utilisait pas le terme de fréquence, mais la périphrase:  " nombre de vibrations dans le même temps ".
Cette relation entre hauteur et fréquence d'un son est fondamentale pour ce qui suit. Lisez bien!

En musique, ce ne sont pas tant les notes et leurs fréquences qui sont importantes, mais les intervalles qui les séparent. C'est la succession de ces intervalles sur un rythme donné qui permet de reconnaître une mélodie, qu'on la chante à partir d'un Do, d'un Ré ou d'un Sol. Exemple avec les premières notes d'Au clair de la lune:

Les notes changent, mais les intervalles successifs entre les notes restent les mêmes. On monte exactement d'une même hauteur (un ton) entre Do et Ré et entre Ré et Mi, exactement comme entre Sol et La et entre La et Si. De même, on monte d'une tierce majeure (deux tons) entre Do et Mi et entre Sol et Si.  C'est le principe de la transposition.

Les intervalles peuvent s'exprimer d'au moins deux manières:

• sur une échelle de fréquences: une note aiguë a une fréquence plus élevée qu'une note grave, mais de combien?
• sur une échelle de hauteurs : une note aiguë est plus haute qu'une note grave, mais de combien?

Je reviendrai plus tard sur les hauteurs, mais pour les fréquences nous avons déjà au moins une réponse. Grâce à Pythagore, nous savons maintenant (voir article Sur la corde du 04/02/2018) que l'intervalle d'octave correspond à un doublement de fréquence:

f' = 2*f (ou le ' signifie qu'on est une octave au dessus). 

L'intervalle entre un son de fréquence f = 100 Hz et un son de fréquence f' =  200 Hz est 200/100 = 2/1 = 2. Cet intervalle correspond à l'octave. Plus généralement, l'intervalle entre deux sons de fréquences f1 et f2 (avec f2 > f1, en Hz) est le rapport f2/f1.

Sur une échelle de fréquences, additionner ou retrancher des intervalles revient respectivement à multiplier ou diviser leurs rapports de fréquences.

L'intervalle nul s'appelle l'unisson: les notes ont toutes la même hauteur et donc la même fréquence, forcément. Le rapport des fréquences est 1:1. Les chanterelles du dulcimer sont normalement accordées à l'unisson. En accordage 1-5-5 (par exemple Ré-La-La), les chanterelles et la corde médiane sont à l'unisson.

Après l'unisson (1/1) et l'octave (2/1), on peut continuer à définir des intervalles purs par des rapports de fréquences superparticuliers, ou épimores, pour reprendre la terminologie grecque, c'est à dire des rapports dont le numérateur est égal au dénominateur plus un: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, etc. Ces rapports viennent naturellement en divisant la longueur d'une corde vibrante au delà de 2, par 3, par 4, par 5, etc. Voici quelques exemples.

Avec le chiffre 3, nous ne faisons plus vibrer qu'un tiers de la corde. On voit, sur le dulcimer ci-dessous, que cela nous amène à la frette n° 11, au delà (c.à.d à droite) de la limite de la première octave (rapport 1/2 - frette n°7). Nous pouvons ramener cette note dans l'ambitus de la première octave en soustrayant une octave, c'est à dire en divisant 1/3 par 1/2, ce qui fait 2/3. Nous sommes maintenant à la frette n° 4 (11 - 7 = 4), avec quatre espacements bornés par cinq frettes (cinq notes successives) sur la touche du dulcimer:

C'est ce qu'on appelle une quinte et si la corde à vide produit un Do, on trouve Sol à la frette n°4, à la quinte de Do. Le rapport des fréquences qui, rappelons-le, est l'inverse du rapport des longueurs, est 3/2, c'est à dire que la fréquence de la note la plus haute (ici Sol) est 1,5 fois la fréquence de la note la plus basse (Do).

Nous avons d'abord divisé la corde en deux (octave), puis en trois (quinte), pourquoi pas en quatre? Qu'à cela ne tienne, mais la division par quatre ressemble diablement à la division par deux:

Pour faire vibrer un quart de corde, on utilise la frette n°14 qui, vous l'avez sans doute deviné, marque la limite de la seconde (ou double) octave (14 = 2 x 7). De fait, en divisant ce rapport par 1/2 comme on vient de le faire plus haut pour la quinte, on tombe pile-poil sur la note à l'octave (frette n° 7; 1/4 ÷ 1/2 = 1/2). Il faut diviser par 1/3 pour revenir dans la première octave, précisément à la frette n°3 (1/4 ÷ 1/3 = 3/4), ce qui revient à soustraire 11 espacements, c'est à dire une octave (7) + une quinte (4). Trois espacements bornés par quatre frettes (quatre notes successives) forment une quarte. Le rapport des fréquences est 4/3, c'est à dire l'inverse de celui des longueurs (3/4) et si la corde à vide produit un Do, la frette n°3 correspond à un Fa.

La quarte apparaît donc comme le complément de la quinte dans l'octave, ce qui veut dire que la somme quinte + quarte doit être égale à une octave. C'est exactement ce qu'on vient de montrer en comptant les espacements. Sur une échelle de fréquences, comme on vient également de le voir, il faut multiplier les rapports pour ajouter des intervalles entre eux. En ajoutant une quinte à une quarte, c'est à dire en multipliant le rapport de la quinte (3/2) par celui de la quarte (4/3), on trouve bien 12/6 qui se réduit à 2/1, le rapport de l'octave.

On dit aussi que la quarte est le renversement de la quinte. Cela veut dire que Fa est à la quarte de Do, et Do' (attention au ' qui signale l'octave supérieure) est à la quinte de Fa. La quinte Do-Sol est dite montante et la quinte Do'-Fa est dite descendante. En utilisant les quintes, on utilise les quartes sans le savoir.

Qu'y-a-t-il entre Fa et Sol? Pour le savoir, il suffit de soustraire une quarte d'une quinte: 3/2 ÷ 4/3 = 9/8. Encore un rapport épimore, qui correspond à un ton (ou seconde majeure). Sur le dulcimer, il faudrait ne pouvoir faire vibrer qu'un neuvième de la corde, ce qui n'est plus techniquement possible car il n'y a plus de frette à ce niveau:

Pour ramener cet intervalle dans l'octave, il faut soustraire trois octaves puisque nous sommes au delà des limites de la seconde (frette n°14). Il faut donc diviser par 1/8 (8 = 2 puissance 3): 1/9 ÷ 1/8 = 8/9. Ceci nous pose, à peu de choses près, à la frette n°1. Si la corde à vide produit un Do, c'est un Ré qui est un ton au dessus, avec un rapport de fréquences de 9/8. Sur une échelle de fréquences, le ton entre Do et Ré est donc identique au ton entre Fa et Sol.

Les expériences attribuées à tort ou à raison à Pythagore s'arrêtent là. Mais rien ne nous empêche de creuser le principe un peu plus en profondeur.

Le chiffre 5 nous amène à la frette n°16, qui ne laisse plus vibrer qu'un cinquième de la corde. Nous sommes au delà de la deuxième octave (rapport 1/4 - frette n°14) et il faut en soustraire deux pour revenir dans l'ambitus de la première. C'est à dire qu'il faut diviser 1/5 par 1/4 (4 = 2 puissance 2) ce qui fait 4/5. Ce rapport nous place à la frette n°2 et désigne deux grands espacements bornés par trois frettes, donc trois notes successives:

Cet intervalle est une tierce majeure. Le rapport de fréquences associé est l'inverse de celui des longueurs, soit 5/4. Encore un rapport superparticulier. A la tierce majeure d'un Do on trouve un Mi.

A partir d'une tierce majeure comme Do-Mi, on peut atteindre la quinte correspondante Do-Sol en parcourant encore deux espacements vers la droite à partir de Mi. Deux espacements bornés par trois notes forment une tierce, mais celle-ci est différente de la tierce majeure. C'est la tierce mineure. D'un côté (tierce majeure) nous avons deux grands espacements ((= un diton), Do-Ré et Ré-Mi, et de l'autre (tierce mineure), un espacement plus petit, Mi-Fa, et un grand, Fa-Sol. La tierce mineure est complémentaire de la tierce majeure dans la quinte:

Si on soustrait une tierce majeure (5/4) d'une quinte (3/2) on obtient le rapport: 3/2 ÷ 5/4 = 12/10 qui se réduit à 6/5. Encore un rapport épimore, dont le numérateur est le chiffre 6. Sur un dulcimer standard, il n'y a pas de frette correspondant à la tierce mineure de la note donnée par la corde à vide (en partant de Do, ce serait Ré# ou Mib), mais on peut toujours faire ajouter par un luthier ce qu'on appelle une frette 1+ ou 1½.

De la même manière que pour la quinte et la quarte, on peut chercher les compléments des tierces dans l'octave. A la tierce mineure correspond la sixte majeure, couvrant cinq espacements (4 grands et un plus petit) bornés par six frettes (6 notes consécutives). On obtient son rapport de fréquence en divisant celui de l'octave par celui de la tierce mineure: 2/1 ÷ 6/5 = 10/6 qui se réduit en 5/3. Tiens! ce n'est plus un rapport épimore. A la sixte majeure de Do on trouve un La.

A la tierce majeure correspond la sixte mineure, pour laquelle le dulcimer diatonique ne possède pas de frette à partir de la corde à vide. Elle devrait se trouver entre les frettes n°4 et n°5 et couvrir cinq espacements elle aussi, mais trois grands et deux plus petits. A partir d'un Do, la note serait Sol# ou Lab. Son rapport est celui de l'octave (2/1) moins celui de la tierce majeure (5/4): 2/1 ÷ 5/4 = 8/5. Pas très épimore non plus...:

La septième mineure est le complément du ton (majeur) dans l'octave et couvre six espacements (4 grands et 2 plus petits) bornés par 7 frettes (7 notes consécutives) jusqu'à la frette n°6. A partir de Do, la note est Sib et son rapport est celui de l'octave (2/1) moins celui du ton (9/8): 2/1 ÷ 9/8 = 16/9.

Il existe une septième majeure couvrant aussi sept espacements, mais cette fois 5 grands et un plus petit, dont la note à partir de Do est le Si naturel (ni dièse ni bémol). Son rapport est de 15/8 et son complément dans l'octave est le demi-ton diatonique (ou seconde mineure), soit un petit espacement entre deux frettes. C'est le même demi-ton diatonique qui sépare Mi de Fa et fait la différence entre une tierce majeure et une tierce mineure: 5/4 ÷ 6/5 = 25/24. Un dulcimer diatonique un peu ancien ne possède pas de frette pour la septième majeure de la corde à vide, mais la plupart des dulcimers modernes possèdent une frette 6+ ou 6½ qui permet de jouer en Do majeur à partir de cette position:

Avec les quelques rapports résumés dans le tableau ci-dessous, nous avons trouvé les huit notes de l'octave:

(par précaution, je recommande de baisser le son de sortie de l'ordinateur avant de lancer l'écoute):

Ecouter la gamme :

(fichier mp3 réalisé avec ToneGénérator et Audacity)

Ces calculs constituent un exercice théorique de mathématiques musicales, illustrant les rapports entre les notes et les nombres. Dans la pratique, les intervalles ne sont pas calculés de cette manière et il est probable que la gamme, telle que décrite dans ce tableau et que j'appelle gamme du monochorde, puisse paraître fausse, voire inaudible, pour des oreilles modernes, habituées au tempérament égal. Mais c'est une autre histoire....

A+

Bois sonnants (1)

Comme pour tous les instruments à corde, le choix du bois est fondamental aux qualités esthétiques et surtout acoustiques de l'instrument. Au fil du temps, de très nombreux bois ont été utilisés pour la construction des dulcimers et il est impossible d'en parler de façon exhaustive. Seuls les bois les plus représentatifs sont présentés ici, les autres simplement cités. Il est probable que j'en oublierai d'autres encore.

C'est un sujet tellement vaste que j'ai été obligé de couper mon topo en deux parties. Celle-ci est plutôt consacrée à l'esthétique et aux façons de préparer les bois pour leur utilisation en lutherie. Un second article sera consacré aux propriétés acoustiques des bois de résonance.

Le dulcimer est un instrument folk et à ce titre peut se permettre beaucoup plus de fantaisies que des instruments classiques. Il égale certainement la guitare folk dans la diversité des bois utilisés et leurs combinaisons.

Toutes proportions gardées évidemment, un instrument à cordes peut être comparé à un tambour. Le tambour a une caisse rigide (le fût) sur laquelle est tendue une peau flexible qui vibre quand on la frappe. Les instruments à cordes ont une caisse de résonance rigide et leur table d'harmonie est un peu comme la peau du tambour, tendre et flexible, recevant les vibrations des cordes au travers de la touche et du chevalet. Avec sa peau tendue sur une caisse, le banjo est à l'interface des deux types d'instruments. Ces deux parties jouant des rôles différents, la règle veut qu'on utilise des bois différents, chacun adapté à sa fonction. Il existe cependant de nombreuses exceptions.

On estime à 70% la proportion des vibrations transmises à l'air (donc à l'oreille) par la table d'harmonie, contre 30% par la caisse de résonance. Dans ces conditions, on comprend que certains spécialistes se plaisent à décrire la table comme étant l'âme de l'instrument. C'en est est en tous cas la pièce maîtresse et sa préparation requiert le plus grand soin. Directement sollicitée par les vibrations des cordes, elle doit être très réactive, mais aussi suffisamment résistante pour supporter les fortes tensions qu'elle subit.

Le timbre, l'intensité et la durée du son obtenu dépendent aussi du volume, de la forme et de la matière de la caisse de résonance. Tous ces facteurs concourent à donner à l'instrument une valeur subjective de sa sonorité, qu'on appelle souvent la « projection » et qui correspond à la puissance sonore qu'il est capable de développer par amplification naturelle du son.

En fait, fond et table jouent et vibrent ensemble. Les deux types de bois bien différents utilisés pour ces deux fonctions sont donc indistinctement appelés bois de résonance ou bois sonnants (ou encore bois de luthiers); ils doivent donc pouvoir s'accorder et travailler ensemble.

Avant d'en venir aux bois eux-mêmes, voici quelques termes expliqués qui serviront dans la suite de l'article.

Pour la plupart des essences, la coupe du tronc fait apparaître deux zones principales très distinctes. Une partie centrale, plus foncée, appelée duramen, et une couronne constituée des derniers cernes formées par l’arbre, plus claire, appelée aubier (ou aubour).
L'aubier (en anglais sapwood, le bois qui contient la sève), en général tendre et très clair, est situé juste sous le cambium et correspond à la partie "vivante" de l'arbre. Le duramen est la partie interne, plus ancienne, qui ne comporte plus de tissus vivants. On l'appelle aussi bois de cœur ou bois parfait. Il est plus compact et plus dense que l'aubier et résiste mieux aux attaques par les moisissures et les parasites.

Suivant les espèces, la différence de couleur entre l'aubier et le duramen peut-être plus ou moins forte, voir inexistante. La photo ci-dessus montre des planches d'érable à sucre (à gauche) où la différence de couleur entre aubier et duramen est presque imperceptible, et des planches de noyer d'Amérique (à droite) où le contraste est plutôt intense.

L'aubier d'érable, qu'on appelle érable blond, est plus recherché que le duramen par les professionnels. Dans tous les autres cas, on utilise plutôt le duramen, mais un peu d'aubier peut apporter des nuances de couleurs intéressantes, en particulier dans les appareillages symériques comme les coupes en papillon.

Avec cette technique une même pièce de bois est fendue en deux et les morceaux sont collés ensemble symétriquement, comme les ailes d'un papillon ou les pages d'un livre (le terme anglais est bookmatching = correspondance des pages) . La photo ci contre montre une pièce de cerisier sauvage fendue en deux (à gauche) et l'effet produit par l'appareillage de deux pièces du même genre sur un dos de dulcimer (à droite). La conservation d'un peu d'aubier entre les zones de duramen est du plus bel effet, et ne remet pas en cause la solidité de l'ensemble. Contrairement à de vieilles croyances, les deux types de bois ont des duretés similaires et se marient très bien.

La table d'harmonie et la caisse de résonance des dulcimers sont faites par assemblage de planchettes très fines, dont la découpe à partir du bois initial est très importante. La figure ci-contre illustre deux méthodes de découpe et le résultat obtenu.

Le débit sur quartier consiste à recouper des quarts de bûches de telle sorte que chaque planchette soit approximativement radiale, perpendiculaire aux cernes du bois. C'est la technique pratiquement obligatoire pour obtenir des bois sonnants de bonne qualité, dont le fil peut être suivi sur de grandes longueurs.

Le débit sur dosse produit des coupes tangentielles aux cernes qui ne sont pas adaptées à la propagation des sons dans le bois.

On voit sur Internet des dulcimers très bon marché (moins de 100 euros), fabriqués en Europe orientale ou en extrème Orient (ex. Applecreek, Blue Moon, Dannan ou Ozark). Dans cette gamme de prix, les caisses de résonance et les tables d'harmonie sont presque toujours en contreplaqué (en anglais plywood, laminated wood). Le contreplaqué superpose plusieurs feuilles de bois collées entre elles et on dit que les couches de colle bloquent certaines vibrations (harmoniques) et altèrent la qualité du son des instruments acoustiques. Il est aussi plus sensible à l'humidité et ne travaille pas, ce qui ne laisse aucune chance à une bonification au vieillissement. Un bois massif est plus coûteux à l'achat, mais il peut travailler librement et améliorer le son de l'instrument avec le temps. Il est aussi plus résistant à l'humidité et aux variations de température.

Le dulcimer étant instrument qualifié fièrement de native american, il est bien naturel que les bois utilisés soient d'abord ceux de la contrée d'origine, essentiellement la partie sud des Appalaches. De fait, avec l'installation des migrants, le dulcimer s'est initialement répandu dans le sud-ouest de la Pennsylvanie et l'ouest de la Virginie.

Le noyer d'Amérique ou noyer noir (black Walnut - Juglans nigra) s’utilise dans la fabrication des éclisses, des fonds et des touches. Il existe aussi des dulcimers dont la table d'harmonie est également en noyer. Le noyer remplace de plus en plus souvent des bois exotiques plus précieux, comme les acajous et les palissandres (voir plus bas), menacés d'extinction par la surexploitation. L'aspect et la couleur peuvent varier grandement, du plus clair au plus foncé, selon les parties du bois utilisées. Les photos ci-dessous montrent un dulcimer entièrement fait de noyer.

Le cerisier noir ou cerisier d'automne, ou encore cerisier tardif (black cherry, cherry ou American cherry - Prunus serotina) est assez largement utilisé dans le monde dulcimérien pour la fabrication des fonds et des éclisses, souvent associé à des tables en épicéa. Comme pour le noyer, on peut trouver des dulcimers tout en cerisier, ou des tables en cerisier sur une base en noyer, par exemple.

Le tilleul (basswood, american basswood, lime, linden - Tilia americana), de couleur très pâle, a tendance à foncer à l'air et à la lumière. Sa texture est fine, avec un veinage léger et régulier. Les avis sont très partagés sur ses propriétés acoustiques. Les photos ci-dessous montent deux modèles Red Kite avec une table d'harmonie en cerisier pour l'un et en tilleul pour l'autre. Dans les deux cas, le fond, les éclisses et la touche sont en noyer.

Les cyprès (cypress - genre Cupressus) sont plus connus pour la fabrication des caisses de résonance des guitares flamenca, le cyprès d'Espagne étant initialement le bois le moins coûteux et le plus facile à trouver. Il est quelquefois exploité dans la fabrication des fonds, des éclisses et parfois des tables d'harmonie des dulcimers.

Le caryer (hickory - genre Carya), dont il exite une douzaine d'espèces aux USA, est utilisé, entre autre, par la société Folkcraft pour la caisse de résonance et la table d'harmonie de dulcimers dont je trouve, à mon goût, le son un peu trop métallique et acide. Un arbre de la même famille est le pacanier, plus connu pour ses noix (pecan - Carya illinoinensis).

Le noyer cendré (butternut ou white walnut - Juglans cinerea), est connu également comme noyer blanc ou noyer à beurre. Il est souvent considéré comme esthétiquement plus attractif que le noyer, du fait d'un plus large spectre de nuances claires et foncées.

Les érables regroupent l'érable sycomore (sycamore maple - Acer pseudoplatanus), l'érable à sucre ou érable franc (hard maple, sugar mapple ou rock maple - Acer saccharum) et ce qu'on appelle des érables tendres (soft maples) qui sont essentiellement l'érable à grandes feuilles (bigleaf maple, Oregon maple - Acer macrophyllum) et les érables de Virginie, érable rouge (red maple - Acer rubrum) et érable argenté (silver maple - Acer sacharinum). Les érables sont surtout utilisés pour les fonds, les éclisses et les touches, plus rarement pour les tables d'harmonie. En plus de leurs qualités acoustiques, certains érables sont aussi réputés pour leur ésthétique. En effet, des anomalies de croissance peuvent faire apparaître différentes figures comme des rides (érable ondé - curly maple, flamed maple, fiddleback maple, etc.), des boursouflures (érable pommelé - quilted maple) ou encore des taches en forme d'yeux d'oiseaux (érable moucheté - birdseye maple) qui sont du plus bel effet sur un instrument.

Le cornouiller de Virginie (dogwood - Cornus florida), célèbre pour sa fleur qui est l'emblème de l'état de Virginie, donne un bois extrèmement dur quelquefois utilisé pour les  tables d'harmonie. Selon la partie utilisée, bois de cœur ou aubier, il présente des nuances allant du rose foncé au blanc crème.

Les épicéas ont des qualités acoustiques exceptionnelles et fournissent une grosse proportion des bois de lutherie utilisés pour les tables d'harmonie. Celui des Appalaches est l'épicéa d'Adirondack (red spruce - Picea rubens), maintenant difficile à trouver. Egalement d'origine nord-américaine (Montagnes Rocheuses, du Montana à l'Arizona), l'épicéa d'Engelmann (Picea engelmannii) est difficile à distinguer de son homologue européen. Plus loin des Appalaches, l'épicéa européen ou des Alpes (European spruce - Picea abies) vient d'Autriche, de Suisse, de France, voire de Scandinavie. Il est reconnaissable à sa blancheur. L'épicéa de Sitka (Sitka spruce - Picea sitchensis), de couleur rosée, pousse principalement sur la côte ouest, au Canada et en Alaska.

Le cèdre rouge en provenance de l’ouest de l’Amérique du nord (western red cedar - Thuya plicata) est en fait un cyprès qu'on a rebaptisé cèdre pour des raisons commerciales. Avec un large spectre de nuances de brun, pouvant même tirer sur le rouge, il présente lui aussi des qualités acoustiques et mécaniques remarquables et fait concurence aux épicéas pour la confection des tables d'harmonie. Il est par contre beaucoup plus fragile et redoute les coups de médiator intempestifs. La photo ci-dessous montre un dulcimer dont la table d'harmonie est en cèdre rouge et la caisse de résonance en noyer.

D'autres bois durs, d'importation ceux-là, font aussi de bons instruments. Les palissandres et les acajous sont (ou étaient ?) les bois par excellence pour les fonds et les éclisses, mais aussi les touches.

Le palissandre du Brésil, palissandre de Rio ou encore Jacaranda (Brazilian ou Bahia rosewood - Dalbergia nigra) est le bois mythique des luthiers, tellement recherché pour ses qualités décoratives et acoustiques (depuis le XVIIème siècle), que le commerce en est interdit pour tous les spécimens coupés après 1992. Il est maintenant remplacé, entre autres, par le cocobolo, colocoba ou cocabola (Dalbergia retusa) d'Amérique centrale, ou le palissandre des Indes (East Indian rosewood - Dalbergia latifolia) ou le sissoo mahogany (Dalbergia sissoo), d’un joli brun foncé virant au violet et à l’orange. Malheureusement, ces essences d'arbres qui demandent entre 80 et 100 ans pour arriver à maturité, frisent aussi la surexploitation.

Le palissandre de Madagascar (Madagascan Rosewood - Dalbergia Grevaena) est plus accessible,  d'une belle robe marron-rouge tirant sur l'orange, avec des propriétés acoustiques tout à fait acceptables. Les modèles "Emma" de la marque Roosebeck (ci-dessous) ont une caisse de résonance et une touche en palissandre des Indes.

Il y a bien d’autres Palissandres, celui du Honduras (Honduran rosewood - Dalbergia stevensonii),  d'Amazonie (Amazon Rosewood - Dalbergia spruceana), le Pau Ferro (Bolivie, aussi nommé palissandre de Santos ou Morado - Machaerium scleroxylon), le Kingwood (Dalbergia cearensis) du Brésil et du mexique, le bubinga ou kevazingo d'Afrique équatoriale (genre Guibourtia), etc.... Essence africaine apparentée au palissandre, l’ovangkol (Guibourtia ehie) partage de nombreuses propriétés avec ce dernier. Le zébrano (zebrawood, zingana - Microberlinia brazzaviiensis) fait partie de la famille des Fabacées au même titre que les palissandres. C'est une très belle essence, rare et chère, prisée pour l'esthétique de son veinage.

Tout de suite après les palissandres pour les fonds et les éclisses viennent les acajous (en anglais mahogany). Il en existe plus de 250 espèces réparties sur plusieurs continents. Ce sont des bois exotiques de couleur rouge ou marron doré aux longs fils quasi dépourvus de noeuds. Ils sont le plus souvent utilisés pour le fond et les éclisses, mais on peut aussi en voir certains dans des tables d'harmonie. Il en existe de deux grandes variétés : les acajous africains (genre Khaya) et les acajous américains (genre Swietenia). Les plus utilisés sont ceux du Brésil et du Honduras.

L' Acajou du Honduras ou acajou à grandes feuilles (Honduran Mahogany, American mahogany, genuine mahogany, big-leaf mahogany, Brazilian mohogany, mogno - Swietenia macrophyllia) est une espèce menacée, mais il est maintenant produit en plantations. Sa couleur varie d'un brun rosé pâle à un brun rougeâtre plus sombre chatoyant. L'acajou de Cuba (Cuban mahogany - Swietenia mahogani) est le véritable acajou original et a été utilisé pendant des siècles. Il a malheureusement quasiment disparu.

D'autres acajous tels le sapele, sapelli ou sapeli (Entandrophragma cylindricum) d'Amérique du Sud est de couleur marron doré avec des reflets rosés, souvent figuré : pommelé ou flammé comme les érables. Son petit cousin sipo (utile, sipo mahogany -  Entandrophragma cylindricum) est originaire de l'Afrique centrale et de l'ouest. Les autres acajous africains (African mahogany - Khaya ivorensis, K. senegalensis, K. antotheca, K. grandifolia) sont d'un genre et d'un continent différents des précédents, mais appartiennent à la même famille des Meliacées. Il est difficile de différencier les deux genres à la simple observation.

Rattaché aux acajous, le korina (limba, afara, fraké, superb terminalia - Terminalia superba) est célèbre dans le monde de la guitare, avec sa jolie teinte tirant sur le miel. Il appartient à la famille des Combrétacées (et non des Méliacées) mais est considéré par certains comme un "super-acajou".

Les acajous des Philipines (Light red meranti, Lauan, Philipine Mahogany - genre Shorea) sont originaires, comme leur nom l'indique, de l'Asie du sud-est. Ils n'ont aucun rapport avec les acajous pré-cités et leurs sont très inférieurs au point de vue acoustique.

On ne saurait terminer sans parler du koa (Acacia koa), superbe variété d'Acacia exotique qui ne pousse qu'aux îles Hawaii où on l'utilise pour la fabrication des ukulélés et des des guitares hawaïennes. C'est un bois de couleur brun orangé avec de belles veines foncées, et dont les plus belles pièces sont ondées ou flammées avec une iridescence exceptionnelle.

Dans un prochain article nous tâcherons de comprendre comment le choix des bois influence les propriétés sonores de nos intruments.

A+

Le petit dernier

Le petit dernier de ma collection est arrivé aujourd'hui.

C'est un dulcimer de la série Red Kite, fabriqué par la famille Hagen, dont l'atelier se trouve à Branson dans les Monts Ozark, dans le Missouri. Ils font aussi des dulcimers pour Cedar Creek (qui est aussi localisé à Branson, MO) et T. K. O'Brien. Chas Hagen choisit lui-même et découpe les bois utilisés pour les instruments: du noyer pour la caisse de résonance et divers bois durs régionaux pour la table d'harmonie. C'est du massif travaillé dans les règles de l'art depuis la bille de bois jusqu'à l'instrument fini, et ça pèse plus lourd que les dulcimers roumains ou pakistanais. C'est donc beaucoup plus stable sur les cuisses et les genoux.

Red kite est le nom anglais du Milan royal (Milvus milvus) dont la silhouette en vol sert de décors aux ouïes de l'instrument. Noter les feuillages qui complètent le motif des ouïes et la présence d'une seule ouïe à droite, dans la petite moitié du sablier. C'est un trait commun aux dulcimers de cette série, que l'on retrouve aussi chez T. K. O'Brien  et Cedar Creek.

C'est principalement la silhouette de l'animal figuré sur les ouïes qui change d'un modèle à l'autre. Le Red Kite est l'animal emblématique du Pays de Galles et ce modèle particulier est vendu au Royaume Uni par Bird Rock Dulcimers, dont le propriétaire est Robin Clark, dans la vallée de Dysynni, Snowdonia.

Quelqu'un écrivait récemment sur le forum Eurodulcimers:

"I tried some laminate dulcimers but they just didn't 'sing'. After doing some research on line I spoke to Robin at Bird Rock Dulcimers in Wales. He markets his own version of the USA hand made Bird Rock instruments called 'The Red Kite'. Mine has solid walnut back and sides and fret board with a cherry top. It is truly a beautiful instrument, the sound is resonant and sweet and will only improve. I am really looking forward to learning to play it properly. Many hours of eagerly awaited pleasure ahead! ".

Une page complète est consacrée au dulcimer Red Kite sur le site de Bird Rock Dulcimers .

La vidéo suivante montre la famille Hagen au travail et donne une idée de la sonorité de ce type de dulcimers, plutôt chaude et moëlleuse (si, si, je confirme, d'après ce que je viens d'entendre en déballant la "bête").

Ce dulcimer, numéroté et signé par Chas Hagen, est également en noyer pour le fond et les éclisses et en cerisier pour la table d'harmonie.

Aussi bien le fond que la table sont découpés en ailes de papillon.

La crosse est en noyer, formée en volute d'une seule pièce et abrite les mécanismes d'accordage, de type guitare, très sensibles et faciles à ajuster.

La touche est doublée, avec une couche de cerisier contre la table d'harmonie et une couche de noyer en surface. Très douce au toucher, elle permet un glissement des doigts sans accroche. Les frettes sont très fines.  Il y a une frette 0 en plus du sillet de tête, et bien sûr la frette 6+, mais aussi 13+.

Les sillets de tête et de chevalet sont d'un bois dur que je n'ai pas encore identifiés.

Il est encore trop tôt pour savoir ce que ce dulcimer a dans le ventre, mais dès que je l'aurai mieux en mains je mettrai quelques enregistrements de mon cru.

Bon, je retourne faire joujou avec...

A+

PS: Toutes les photos de mon nouveau dulcimer ont été faites par Robin Clark, qui me les a envoyées pour que je puisse choisir en connaissance de cause. Je me suis limité à faire le montage.

Sur la corde

Le dulcimer étant un instrument à cordes, il ne me paraît pas inutile de revenir sur quelques notions de bases concernant la "physiologie" de ces animaux-là. Cet article est le premier d'une série consacrée à la théorie musicale.

Attention! Quelques formules et calculs de physique peuvent être fortuitement mélangés aux textes de cette série. Leur lecture n'est pas indispensable, sauf pour les petits curieux.

Quand on tire sur une corde tendue, comme la corde d'un arc par exemple, puis qu'on la laisse échapper, elle vibre si rapidement qu'elle devient floue, émettant un son grave: tzouinnng ! Au tout début du phénomène, la corde oscille répétitivement entre deux formes courbes extrèmes A et B, de A vers B puis de B vers A, et ainsi de suite. On dit que la corde "fait ventre", compte tenu de cette courbure. C'est un mouvement périodique. Très rapidement, ce mouvement s'atténue à cause du frottement de l'air et de l'échauffement et la corde revient à sa position d"équilibre, parfaitement rectiligne.

Au départ, ce mouvement périodique de la corde s'accompagne de l'émission d'un son (grave) dont la fréquence dépend de la masse linéique de la corde (sa masse par unité de longueur), de sa tension mécanique et de sa longueur.

On peut mesurer l'effet de ces différents paramètres à l'aide d'un dispositif appelé monocorde, déjà utilisé par les grecs de l'antiquité il y a 2500 ans (Dessin ci-dessous tiré de Science & Music by Sir James Jeans Cambridge University Press 1937):

Sur ce schéma, la corde est tendue entre le point A et la poulie en D à l'aide du poids P. Deux chevalets B et C sont placés sous la corde de façon à en limiter la portion vibrante à la longueur BC.

La légende veut que Pythagore et ses disciples aient utilisé ce type d'appareil en faisant varier la longueur de la portion vibrante d'une ou plusieurs cordes, n'ayant que l'oreille pour instrument de mesure. En faisant varier la distance BC sur le schéma, on produit différentes notes et si on fait vibrer simultanément deux cordes de longueurs différentes, on obtient deux sons dont la combinaison peut paraître plus ou moins plaisante (consonante) ou déplaisante (dissonante) en fonction de l'intervalle qui les sépare.

La combinaison la plus agréable à l'oreille est obtenue quand l'une des deux cordes a pour longueur la moitié de l'autre (la double courbe correspond à la portion vibrante):

Les deux notes obtenues sont à l'intervalle d'une octave. La fréquence de la note produite par la demi-corde (2*F) est le double de celle (F) produite par la corde entière. C'était la première démonstration que la fréquence d'une note est liée à la longueur de la corde même si, bien sûr, Pythagore ignorait tout de la notion de fréquence.

D'autres érudits ont étudié les autres paramètres par le passé. On sait par exemple qu'à longueurs égales la note obtenue varie avec la tension de la corde. Il suffit pour le constater de changer le poids P suspendu à la poulie du monocorde. Il faut cependant multiplier par 4 le poids suspendu pour obtenir le même effet que Pythagore en divisant par deux la longueur de la corde. La tension de la corde est le seul paramètre utilisé par le dân bau, instrument traditionnel vietnamien. A l'aide d'un levier, le musicien tire ou relâche la corde, ce qui a pour effet de faire descendre ou monter la note obtenue.

Enfin, la masse linéaire ou linéique μ (masse par unité de longueur) de la corde est le paramètre qui fait que les cordes qui produisent des sons aigus sont plus fines que les cordes qui produisent des sons graves. C'est aussi pour cela que certaines cordes basses sont entourées (on dit filées) d'une spirale de fil métallique, pour augmenter leur masse sans augmenter leur raideur. Sinon, nos guitares devraient avoir des manches immenses pour produire le Ré ou le La grave. Sans parler des pianos...

 Toutes ces observations ont été formalisées par Marin Mersenne (1588-1648) a qui on doit les premières lois de l'accoustique, qui portèrent un temps son nom. Ellles apparaissent dans son Harmonie universelle, publiée en 1636-37 :

1- Quand on fait varier la longueur d'une corde de masse et de tension constantes, la période de vibration est proportionnelle à la longueur (c'est ce que l'école pythagoricienne, sinon Pythagore lui-même, avait vérifié).

2 - Quand on fait varier la tension d'une corde de masse et de longueur constantes, la fréquence de vibration est proportionnelle à la racine carrée de la tension.

3 - Pour différentes cordes de même longueur et tension, la période de vibration est proportionelle à la racine carrée du poids de la corde.

Mais qu'est-ce que tout ce charabia ? Qu'est-ce que la période ...? la fréquence ...?

Nous verrons ça un peu plus tard. Revenons à l'octave, si vous le voulez bien.

Le mot octave est d'origine latine et désigne une série de 8 notes (octa = huit) consécutives qui délimitent 7 intervalles sonores. Les anciens grecs utilisaient surtout comme étendue mélodique le tétracorde, ensemble de quatre notes délimitant 3 intervalles de tailles variables, mais dont les deux notes extrèmes étaient à la quarte l'une de l'autre (par exemple Do-Fa ou La-Mi - on reviendra sur la quarte un peu plus tard). Les notes intermédiaires occupaient des positions variées selon le genre du tétracorde:

Dans la lyre à sept cordes, très souvent représentée sur les céramiques antiques, on suppose que deux tétracordes étaient associés (conjoints, en grec synemmenon) en mettant en commun la dernière corde du premier tétracorde (4) et la première du second (5), donnant la corde moyenne (4/5) ou mèse.

Ben oui, c'est deux garçons, et alors? C'est la lyre à sept cordes qu'il faut regarder...

Dans la lyre à huit cordes, apparue au VIème siècle avant notre ère (l'époque de Pythagore, comme par hasard), deux tétracordes sont séparés par un ton supplémentaire (tétracordes disjoints, en grec diezeugmenon), formant ainsi sept intervalles délimités par huit notes.

Les deux cordes extrèmes, la première et la huitième, étaient accordées à une octave d'intervalle. Les anciens grecs appelaient cet intervalle le diapason. Le mot gamme n'apparaîtra qu'au début du XIème siècle. Les cordes, en boyau, tendon ou lin, étaient toutes de la même longueur (d'après les représentations), ce qui veut dire, si vous avez bien suivi, que les grecs jouaient surtout sur la tension de la corde pour accorder la lyre.

Deux notes formant un intervalle d’octave se ressemblent tellement qu'elles portent le même nom. Par exemple dans cette petite comptine:

  « Do ré mi fa sol la si Do,
    Gratte-moi la puce que j'ai dans le dos.
    Si tu l'avais grattée plus tôt,
    Elle ne s'rait pas montée si haut »

... l'intervalle sonore entre le Do "du bas" et le Do "du haut" (comme les appelait ma grand-mère) est de 2:1, ce qui veut dire qu'une corde vibrante produisant la seconde (en haut) mesure en longueur la moitié d'une corde de même nature produisant la première (en bas). Si on monte encore d'une octave au dessus du Do "du haut", on arrive à un nouveau Do (double octave), dans un rapport de 4:1 avec le Do "du bas". Facile!

Les historiens de la musique pensent que l'octave est sans doute le premier intervalle sonore utilisé par les hommes. Il a de fait un statut particulier dans toutes les cultures musicales. Le principe de l'identité des octaves, énoncé par Jean Philippe Rameau (1683-1764) (Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels - 1722) énonce que deux notes séparées par une octave sont équivalentes:

« Des voix mâles et féminines entonnent naturellement l’octave, croyant entonner l’unisson ou le même son ».

En jouant ensemble deux notes à l'octave l'une de l'autre, on obtient un son très lisse, la note grave se fondant dans la note aiguë et réciproquement.

Il est facile de reproduire l'expérience de Pythagore sur un dulcimer. Une corde à vide (n'importe laquelle) produit en vibrant une certaine note et en plaçant son doigt à gauche de la septième frette, on obtient la note à l'octave supérieur. Eh oui, la frette n°7 est très précisément au milieu de la VSL (Vibrating String Length - définie dans l'article Un peu d'anatomie du 04/02/18 et qu'on appelle en français diapason...!).

Et quelle note obtient-on en plaçant son doigt à gauche de la frette n°14? Vous le saurez en lisant le prochain épisode de ma série sur la théorie musicale. Quel suspense!

A+

Un peu d'anatomie

Voici un article essentiellement réservé aux non-initié·e·s. Pour commencer un blog, ce n'est pas plus mal. Pour celles et ceux donc qui ne sauraient rien du dulcimer des Appalaches, voici quelques éléments de description de l'animal.

Pour illustrer le propos, je vais prendre comme exemple ce dulcimer en forme de sablier (en anglais ont dit hourglass ou sandglass) et donner le petit vocabulaire qui va avec :

C'est un produit de la maison Stoney End, petite entreprise qui se dit familiale, avec cinq personnes dont le propriétaire (et fondateur) et son épouse. Depuis sa création en 1984, la société s'est plutôt spécialisée dans la fabrication des harpes (celtiques, celles à leviers) mais produit aussi des dulcimers, ainsi que des banjos et des bodhrans (tambourins irlandais). L'atelier se situe à Red Wing dans le Minnesota.

Je reste réservé sur le côté "familial". J'ai du mal à faire l'équation entre une équipe aussi restreinte et une production aussi intense que celle affichée, avec en permanence trois ou quatre dulcimers en stock sur Amazon. Quoiqu'il en soit, c'est un instrument solide et esthétiquement correct, fabriqué par des étazuniens qui connaissent leur affaire. De plus, il est assez mélodieux, ce qui ne gâche rien pour un instrument de musique. Pour débuter, c'est un assez bon choix, d'un rapport qualité-prix intéressant (dans les 300 euros sur Amazon). Détail amusant, Stoney End est aussi le titre d'un album de Barbra Streisand.

Pour revenir à l'anatomie, on voit que la partie la plus volumineuse est la caisse de résonance, exactement comme sur une guitare ou une mandoline. Cette caisse de résonance a un fond plat qu'on ne voit pas sur la photo, et des côtés courbés qu'on appelle les éclisses. Le volume sonore du dulcimer est proportionnel au volume de la caisse de résonance. Il en va de même pour la qualité du son, plus moëlleux avec les caisses de plus grand volume et plus dur ou métallique avec les caisses de petit volume.

Le dessus de la caisse de résonnance est la table d'harmonie. C'est elle qui transmet les vibration des cordes à l'air contenu dans la caisse de résonance. On voit sur la photo que la table d'harmonie n'est pas faite du même bois (ici c'est de l'épicéa) que le reste de la caisse (ici du noyer). Cette question de bois est fondamentale et mérite un article entier, au moins.

La table de résonance est percée d'ouïes qui permettent, comme dirait ma petite fille, de faire "sortir" le son de l'instrument. C'est effectivement par là que les vibrations se transmettent de l'intérieur de la caisse à l'air ambiant, puis à notre tympan. Il existe normalement une paire d'ouïes dans chacune des deux parties renflées du sablier. Certains disent qu'il faut que le dulcimer respire, c'est à dire que l'air qui est chassé d'un côté par compression puisse être remplacé d'un autre côté. Ce qui est sûr, c'est que le rapport entre la surface totale des ouïes et le volume de la caisse intervient dans la qualité du son. De même, l'écartement entre les deux paires d'ouïes semble être important. Le motif des ouïes n'a qu'un rôle esthétique, à condition bien sûr d'offrir la surface suffisante.

Sur la table d'harmonie est collée la touche, qui ressemble à un manche de guitare, mais ne dépasse de l'instrument que pour recevoir la tête ou crosse, avec les mécanismes (clés) d'accordage.

La VSL (pour l'anglais Vibrating String Length) ou diapason est la distance séparant le sillet de tête du chevalet. Comme sur le manche d'une guitare, cet espace est divisé en segments par des barettes métalliques appelées frettes, qui matérialisent les intervalles sonores entre les notes. Le fait de poser son doigt sur une corde à gauche d'une frette réduit la longueur vibrante de cette corde et modifie la note émise, selon des lois d'acoustique qui feront l'objet d'un autre article.

Noter, à droite de la photo, à peu près au niveau des ouïes, entre le chevalet et la dernière frette, une zone déprimée de la touche qui marque l'endroit où le musicien "gratte" les cordes. Je n'ai pas trouvé de terme français pour cet endroit, que les anglosaxons appellent strum hollow, c'est à dire littéralement le creux (hollow) où l'on gratte (strum). Quelqu'un connaît-il un autre terme?

Sur ce dulcimer, le sillet de tête et le chevalet sont en matière plastique, comme c'est très souvent le cas. Il serait préférable qu'ils soient faits d'une matière plus dure, par exemple de l'os ou de l'ivoire.

Voilà pour la revue d'ensemble. Passons maintenant aux détails, en commençant par la tête.

La photo montre la position des quatre clés d'accordage et des mécanismes correspondant aux quatre cordes de ce dulcimer. Il y a deux chanterelles (il peut n'y en avoir qu'une) pour les notes les plus aiguës. Les autres cordes, la corde médiane et la corde des basses sont appelées ensemble bourdons. Dans le jeu traditionnel, la mélodie est jouée exclusivement sur la (ou les) chanterelle(s) (en anglais melody strings ou trebbles) et les deux autres cordes jouent en permanence les mêmes notes, à la manière des bourdons (en anglais drones) d'une vielle à roue où d'une cornemuse.

Sur la touche, les frettes se suivent avec des intervalles de longueurs différentes et sont numérotées de 1 à 17. Le sillet de tête est considéré comme la frette 0 (zéro).

La tête de ce dulcimer est plate, mais elle peut aussi avoir diverses formes, à condition bien sûr de laisser la place aux mécanismes d'accordage. Beaucoup de dulcimers ont une crosse sculptée en rouleau. D'autres peuvent avoir des sculptures plus sophistiquées, comme des têtes d'animaux ou de personnages, mais c'est plus cher ...

A l'arrière (si l'on peut dire) du dulcimer, la photo ci-contre me permet de constater que des cordes ne sont pas bien placées dans le chevalet, ce que je n'avais pas vu auparavant et que je vais réparer de suite.  Le cordier est l'endroit où les cordes passent par dessus l'extrémité de la touche pour venir s'attacher sur les petits plots ou crochets fixés dans le tasseau de fond. A cet endroit, la géométrie de la touche doit être calculée pour que les cordes prennent une inclinaison selon un angle bien précis derrière le chevalet. Il en va d'ailleurs de même à l'autre extrémité de l'instrument, entre le sillet de tête et les mécanismes d'accordage.

J'espère qu'à l'issue de cet article le dulcimer paraît moins mystérieux. J'espère aussi avoir donné un peu envie de savoir et de comprendre comment ça marche, et ce qu'on peut faire avec. Alors...

... A+