Sur la corde

Le dulcimer étant un instrument à cordes, il ne me paraît pas inutile de revenir sur quelques notions de bases concernant la "physiologie" de ces animaux-là. Cet article est le premier d'une série consacrée à la théorie musicale.

Attention! Quelques formules et calculs de physique peuvent être fortuitement mélangés aux textes de cette série. Leur lecture n'est pas indispensable, sauf pour les petits curieux.

Quand on tire sur une corde tendue, comme la corde d'un arc par exemple, puis qu'on la laisse échapper, elle vibre si rapidement qu'elle devient floue, émettant un son grave: tzouinnng ! Au tout début du phénomène, la corde oscille répétitivement entre deux formes courbes extrèmes A et B, de A vers B puis de B vers A, et ainsi de suite. On dit que la corde "fait ventre", compte tenu de cette courbure. C'est un mouvement périodique. Très rapidement, ce mouvement s'atténue à cause du frottement de l'air et de l'échauffement et la corde revient à sa position d"équilibre, parfaitement rectiligne.

Au départ, ce mouvement périodique de la corde s'accompagne de l'émission d'un son (grave) dont la fréquence dépend de la masse linéique de la corde (sa masse par unité de longueur), de sa tension mécanique et de sa longueur.

On peut mesurer l'effet de ces différents paramètres à l'aide d'un dispositif appelé monocorde, déjà utilisé par les grecs de l'antiquité il y a 2500 ans (Dessin ci-dessous tiré de Science & Music by Sir James Jeans Cambridge University Press 1937):

Sur ce schéma, la corde est tendue entre le point A et la poulie en D à l'aide du poids P. Deux chevalets B et C sont placés sous la corde de façon à en limiter la portion vibrante à la longueur BC.

La légende veut que Pythagore et ses disciples aient utilisé ce type d'appareil en faisant varier la longueur de la portion vibrante d'une ou plusieurs cordes, n'ayant que l'oreille pour instrument de mesure. En faisant varier la distance BC sur le schéma, on produit différentes notes et si on fait vibrer simultanément deux cordes de longueurs différentes, on obtient deux sons dont la combinaison peut paraître plus ou moins plaisante (consonante) ou déplaisante (dissonante) en fonction de l'intervalle qui les sépare. ll faut pour cela bien sûr que tous les autres paramètres (masse, diamètre, tension) des cordes soient les mêmes.

La combinaison la plus agréable à l'oreille est obtenue quand l'une des deux cordes a pour longueur la moitié de l'autre (la double courbe correspond à la portion vibrante):

Les deux notes obtenues sont à l'intervalle d'une octave. La fréquence de la note produite par la demi-corde (2*F) est le double de celle (F) produite par la corde entière. C'était la première démonstration que la fréquence d'une note est liée à la longueur de la corde même si, bien sûr, Pythagore ignorait tout de la notion de fréquence.

D'autres érudits ont étudié les autres paramètres par le passé. On sait par exemple qu'à longueurs égales la note obtenue varie avec la tension de la corde. Il suffit pour le constater de changer le poids P suspendu à la poulie du monocorde. Il faut cependant multiplier par 4 le poids suspendu pour obtenir le même effet que Pythagore en divisant par deux la longueur de la corde. La tension de la corde est le seul paramètre utilisé par le dân bau, instrument traditionnel vietnamien. A l'aide d'un levier, le musicien tire ou relâche la corde, ce qui a pour effet de faire descendre ou monter la note obtenue.

Enfin, la masse linéaire ou linéique μ (masse par unité de longueur) de la corde est le paramètre qui fait que les cordes qui produisent des sons aigus sont plus fines que les cordes qui produisent des sons graves. C'est aussi pour cela que certaines cordes basses sont entourées d'une spirale de fil métallique, pour augmenter leur masse sans augmenter leur raideur. Sinon, nos guitares devraient avoir des manches immenses pour produire le Ré ou le La grave. Sans parler des pianos...

 Toutes ces observations ont été formalisées par Marin Mersenne (1588-1648) a qui on doit les premières lois de l'accoustique, qui portèrent un temps son nom. Ellles apparaissent dans son Harmonie universelle, publiée en 1636-37 :

1- Quand on fait varier la longueur d'une corde de masse et de tension constantes, la période de vibration est proportionnelle à la longueur (c'est ce que l'école pythagoricienne, sinon Pythagore lui-même, avait vérifié).

2 - Quand on fait varier la tension d'une corde de masse et de longueur constantes, la fréquence de vibration est proportionnelle à la racine carrée de la tension.

3 - Pour différentes cordes de même longueur et tension, la période de vibration est proportionelle à la racine carrée du poids de la corde.

Mais qu'est-ce que tout ce charabia ? Qu'est-ce que la période ...? la fréquence ...?

Nous verrons ça un peu plus tard. Cet article (Intervalles en fréquences, du 03/03/2018) en fait sa plus grande part. Revenons à l'octave.

Le mot octave est d'origine latine et désigne une série de 8 notes (octa = huit) consécutives qui délimitent 7 intervalles sonores. Les anciens grecs utilisaient surtout comme étendue mélodique le tétracorde, ensemble de quatre notes délimitant 3 intervalles de tailles variables, mais dont les deux notes extrèmes étaient toujours à la quarte l'une de l'autre (par exemple Do-Fa ou La-Mi - on reviendra sur la quarte un peu plus tard). Les notes intermédiaires occupaient des positions variées selon le genre du tétracorde:

Dans la lyre à sept cordes, très souvent représentée sur les céramiques antiques, on suppose que deux tétracordes étaient associés (conjoints, en grec synemmenon) en mettant en commun la dernière corde du premier tétracorde (4) et la première du second (5), donnant la corde moyenne (4/5) ou mèse.

Ben oui, c'est deux garçons, et alors? C'est la lyre à sept cordes qu'il faut regarder...

Dans la lyre à huit cordes, apparue au VI^ème siècle avant notre ère (l'époque de Pythagore, comme par hasard), deux tétracordes sont séparés par un ton supplémentaire (tétracordes disjoints, en grec diezeugmenon), formant ainsi sept intervalles délimités par huit notes. Le système musical grec est présenté plus en détail dans l'article Comme un bémol du 12/10/2018.

Les deux cordes extrèmes, la première et la huitième, étaient accordées à une octave d'intervalle. Les anciens grecs appelaient cet intervalle le diapason. Le mot gamme n'apparaîtra qu'au début du XI^ème siècle. Les cordes, en boyau, tendon ou lin, étaient toutes de la même longueur (d'après les représentations), ce qui veut dire que les grecs jouaient surtout sur la tension et le diamètre de la corde (donc sa masse) pour accorder la lyre.

Deux notes formant un intervalle d’octave se ressemblent tellement qu'elles portent le même nom. Par exemple dans cette petite comptine:

  « Do ré mi fa sol la si Do,
    Gratte-moi la puce que j'ai dans le dos.
    Si tu l'avais grattée plus tôt,
    Elle ne s'rait pas montée si haut »

... l'intervalle sonore entre le Do "du bas" et le Do "du haut" (comme les appelait ma grand-mère) est de 2:1, ce qui veut dire qu'une corde vibrante produisant la seconde (en haut) mesure en longueur la moitié d'une corde de même nature produisant la première (en bas). Si on monte encore d'une octave au dessus du Do "du haut", on arrive à un nouveau Do (double octave ou super-octave), dans un rapport de 4:1 avec le Do "du bas". Facile!

Les historiens de la musique pensent que l'octave est sans doute le premier intervalle sonore utilisé par les hommes. Il a de fait un statut particulier dans toutes les cultures musicales. Le principe de l'identité à l'octave, énoncé par Jean Philippe Rameau (1683-1764) (Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels - 1722) énonce que deux notes séparées par une octave sont équivalentes:

« Des voix mâles et féminines entonnent naturellement l’octave, croyant entonner l’unisson ou le même son ».

En jouant ensemble deux notes à l'octave l'une de l'autre, on obtient un son très lisse, la note grave se fondant dans la note aiguë et réciproquement.

Il est facile de reproduire l'expérience de Pythagore sur un dulcimer. Une corde à vide (n'importe laquelle) produit en vibrant une certaine note et en plaçant son doigt à gauche de la septième frette, on obtient la note à l'octave supérieur. Eh oui, la frette n°7 est très précisément au milieu de la VSL (Vibrating String Length - définie dans l'article Un peu d'anatomie du 04/02/18 et qu'on appelle en français diapason...!).

Et quelle note obtient-on en plaçant son doigt à gauche de la frette n°14? Vous le saurez en lisant le prochain épisode de ma série sur la théorie musicale. Quel suspense!

La suite de ce premier article sur la théorie musicale et son histoire est à lire dans l'article Intervalles en fréquences, du 03/03/2018.

A+

Crédits photographiques :
(i) - [lien] Archer - image vectorielle (modifiée) OpenClipart-Vectors par Pixabay.
(ii) - [lien] Portait de Marin Mersenne - Claude Duflos (1681-1725) - Bibliothèque Nationale d'Autriche - domaine public Picryl.
(iii) - [lien] Eros et un jeune homme - Face B d'une bobine attique à fond blanc vers 460/50 av. J.C - Attribué au peintre de Penthésilée - Metropolitan Museum of Art (N.Y.,USA) - CC-BY 2.5 © Marie-Lan Nguyen (2011).
(iv) - [lien] Portrait de Jean-Philippe Rameau (vers 1771) par Jean-Bernard Restout (1732-1797) - image recadrée d'après l'original - Bibliothèque nationale de France (BnF, Paris, France) - Source gallica.bnf.fr / BnF.