Fréquences et intervalles sont liés dans le langage courant. D'un évènement qui se reproduit avec une certaine fréquence, ne dit-on pas qu'il revient à intervalle régulier? Ce deuxième article consacré à la théorie musicale devrait préciser quelques termes et notions effleurées dans le premier (voir Sur la corde, du 06/02/2018), notamment les notions de période, fréquence, longueur d'onde et hauteur d'un son. Il sera temps ensuite de définir différents intervalles entre les notes, et les valeurs qu'ils peuvent prendre.

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comtoiseLe son est, répétons-le, un signal périodique: il se reproduit identique à lui même sur un intervalle de temps régulier et la période (T) est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit. T s'exprime en unités de temps (seconde, minute, heure etc...). C'est le temps mis pour que le phénomène périodique redevienne identique à lui-même.

Par exemple, le balancier d'une horloge se balance inlassablement de droite à gauche, puis de gauche à droite. C'est un mouvement périodique. En prenant sa position extrème à gauche comme point de départ, la période est le temps qu'il met pour faire un balancement complet et revenir à gauche, exactement au même point qu'à l'étape précédente. Si le balancier met, disons, 2 secondes pour effectuer un aller-retour (tic-tac) complet, la période du balancement est T = 2 secondes.

La fréquence f est le nombre de périodes dans l'unité de temps choisie. L'unité de fréquence est le hertz (abrégé Hz = périodes par seconde). Si le balancier de l'horloge fait un aller-retour en 2 secondes, alors en une seconde il fait la moitié (1/2) d'un aller-retour, ce qui correspond à f = 1/T. La fréquence du balancier est donc de 0,5 Hz.

Ne soyez pas étonné.e.s si vous n'entendez pas le son émis par le balancier à cette fréquence (et non!  le tic-tac ne vient pas de là ;-). L'oreille humaine peut percevoir des sons entre 20 et 20000 Hz, avec une perception optimale vers 1000-3000 Hz en principe. La bande passante des téléphones est comprise entre 300 et 3000 Hz, celle de la voix humaine entre 100 et 300 Hz pour les hommes et 200-600 Hz pour les femmes. Voilà encore un domaine où la parité aura du mal à s'installer, même avec le point-milieu ...

En musique, les sons correspondant aux notes ont des fréquences beaucoup plus élevées que le balancier de la pendule. Le La3 du piano a une fréquence de 440 Hz et donc une période de 1/440 = 0,00277 seconde, de l'ordre de quelques millisecondes. Une corde de guitare émettant cette note vibre au départ en repassant par sa forme initiale 440 fois par seconde, de sorte qu'on ne la voit plus que floue. Bien sûr, après quelques instants, l'amplitude du mouvement diminue et le son meurt, mais la fréquence reste la même jusqu'au bout. Le Mi grave de la contrebasse est à 42,2 Hz et le Do aigu du piano à 4186 Hz.

Si la période d'une oscillation est le temps mis par la corde pour effectuer une oscillation complète, la longueur d'onde (λ, à ne pas confondre avec la longueur de la corde, même si les deux sont liées) est la distance parcourue par le son en une période. La vitesse c* (pour célérité) de propagation du son est donc c = λ/T (= distance parcourue ÷ temps mis pour la parcourir). La longueur d'onde du son (λ) et la longueur (L) d'une corde en vibration varient proportionnellement:

formule_L

 

k est un nombre entier dont on verra la signification plus tard, quand il sera question d'harmoniques.

galileeEn réduisant de moitié la longueur de sa corde, Pythagore, sans le savoir, réduisait également de moitié la longueur d'onde du son et, donc, multipliait par deux sa fréquence, car f = c/λ. En augmentant la tension de la corde ou en prenant une corde moins "lourde", on augmente la vitesse de propagation c et donc, à longueur égale de corde, on augmente la fréquence du son.

Galilée (1564-1642) a clairement établi, sans doute le premier (mais est-ce bien important?) que la hauteur du son dépendait uniquement du nombre de vibrations dans un temps donné, et que les autres paramètres, tels que les longueurs de cordes ou leur tension, n'étaient que des corollaires à cette loi. Dans l'incapacité de compter ces vibrations, beaucoup trop rapides pour les moyens de l'époque, il n'utilisait pas le terme de fréquence, mais la périphrase:  " nombre de vibrations dans le même temps ".
Cette relation entre hauteur et fréquence d'un son est fondamentale pour ce qui suit. Lisez bien!

En musique, ce ne sont pas tant les notes et leurs fréquences qui sont importantes, mais les intervalles qui les séparent. C'est la succession de ces intervalles sur un rythme donné qui permet de reconnaître une mélodie, qu'on la chante à partir d'un Do, d'un Ré ou d'un Sol. Exemple avec les premières notes d'Au clair de la lune, que tout le monde connaît:

au_clair_de_la_lune_txt

Les notes changent, mais les intervalles successifs entre les notes restent les mêmes. On monte exactement d'une même hauteur (un ton) entre Do et Ré et entre Ré et Mi, exactement comme entre Sol et La et entre La et Si. De même, on monte d'une tierce majeure (deux tons) entre Do et Mi et entre Sol et Si.  C'est le principe de la transposition.

Les intervalles peuvent s'exprimer d'au moins deux manières:

• sur une échelle de fréquences: une note aiguë a une fréquence plus élevée qu'une note grave, mais de combien?
• sur une échelle de hauteurs : une note aiguë est plus haute qu'une note grave, mais de combien?

Je reviendrai plus tard sur les hauteurs, mais pour les fréquences nous avons déjà au moins une réponse. Grâce à Pythagore, nous savons maintenant (voir article Sur la corde du 04/02/2018) que l'intervalle d'octave correspond à un doublement de fréquence:

f' = 2*f (ou le ' signifie qu'on est une octave au dessus). 

L'intervalle entre un son de fréquence f = 100 Hz et un son de fréquence f' =  200 Hz est 200/100 = 2/1 = 2. Cet intervalle correspond à l'octave. Plus généralement, l'intervalle entre deux sons de fréquences f1 et f2 (avec f2 > f1, en Hz) est le rapport f2/f1.

Sur une échelle de fréquences, additionner ou retrancher des intervalles revient respectivement à multiplier ou diviser leurs rapports de fréquences.

L'intervalle nul s'appelle l'unisson: les notes ont toutes la même hauteur et donc la même fréquence, forcément. Le rapport des fréquences est 1:1. Les chanterelles du dulcimer sont normalement accordées à l'unisson. En accordage 1-5-5 (par exemple Ré-La-La), les chanterelles et la corde médiane sont à l'unisson.

Après l'unisson (1/1) et l'octave (2/1), on peut continuer à définir des intervalles purs par des rapports de fréquences superparticuliers, ou épimores, pour reprendre la terminologie grecque, c'est à dire des rapports dont le numérateur est égal au dénominateur plus un: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, etc. Ces rapports viennent naturellement en divisant la longueur d'une corde vibrante au delà de 2, par 3, par 4, par 5, etc. Voici quelques exemples.

Avec le chiffre 3, nous ne faisons plus vibrer qu'un tiers de la corde. On voit, sur le dulcimer ci-dessous, que cela nous amène à la frette n° 11, au delà (c.à.d à droite) de la limite de la première octave (rapport 1/2 - frette n°7). Nous pouvons ramener cette note dans l'ambitus de la première octave en soustrayant une octave, c'est à dire en divisant 1/3 par 1/2, ce qui fait 2/3. Nous sommes maintenant à la frette n° 4 (11 - 7 = 4), avec quatre espacements bornés par cinq frettes (cinq notes successives) sur la touche du dulcimer:

dulci_quinte

attention_6_1

C'est ce qu'on appelle une quinte et si la corde à vide produit un Do, on trouve Sol à la frette n°4, à la quinte de Do. Le rapport des fréquences qui, rappelons-le, est l'inverse du rapport des longueurs, est 3/2, c'est à dire que la fréquence de la note la plus haute (ici Sol) est 1,5 fois la fréquence de la note la plus basse (Do).

Nous avons d'abord divisé la corde en deux (octave), puis en trois (quinte), pourquoi pas en quatre? Qu'à cela ne tienne, mais la division par quatre ressemble diablement à la division par deux:

dulci_quarte

Pour faire vibrer un quart de corde, on utilise la frette n°14 qui, vous l'avez sans doute deviné, marque la limite de la seconde (ou double) octave (14 = 2 x 7). De fait, en divisant ce rapport par 1/2 comme on vient de le faire plus haut pour la quinte, on tombe pile-poil sur la note à l'octave (frette n° 7; 1/4 ÷ 1/2 = 1/2). Il faut diviser par 1/3 pour revenir dans la première octave, précisément à la frette n°3 (1/4 ÷ 1/3 = 3/4), ce qui revient à soustraire 11 espacements, c'est à dire une octave (7) + une quinte (4). Trois espacements bornés par quatre frettes (quatre notes successives) forment une quarte. Le rapport des fréquences est 4/3, c'est à dire l'inverse de celui des longueurs (3/4) et si la corde à vide produit un Do, la frette n°3 correspond à un Fa.

La quarte apparaît donc comme le complément de la quinte dans l'octave, ce qui veut dire que la somme quinte + quarte doit être égale à une octave. C'est exactement ce qu'on vient de montrer en comptant les espacements. Sur une échelle de fréquences, comme on vient également de le voir, il faut multiplier les rapports pour ajouter des intervalles entre eux. En ajoutant une quinte à une quarte, c'est à dire en multipliant le rapport de la quinte (3/2) par celui de la quarte (4/3), on trouve bien 12/6 qui se réduit à 2/1, le rapport de l'octave.

On dit aussi que la quarte est le renversement de la quinte. Cela veut dire que Fa est à la quarte de Do, et Do' (attention au ' qui signale l'octave supérieure) est à la quinte de Fa. La quinte Do-Sol est dite montante et la quinte Do'-Fa est dite descendante. En utilisant les quintes, on utilise les quartes sans le savoir.

complement_quinte_quarte

Qu'y-a-t-il entre Fa et Sol? Pour le savoir, il suffit de soustraire une quarte d'une quinte: 3/2 ÷ 4/3 = 9/8. Encore un rapport épimore, qui correspond à un ton (ou seconde majeure). Sur le dulcimer, il faudrait ne pouvoir faire vibrer qu'un neuvième de la corde, ce qui n'est plus techniquement possible car il n'y a plus de frette à ce niveau:

dulci_ton

Pour ramener cet intervalle dans l'octave, il faut soustraire trois octaves puisque nous sommes au delà des limites de la seconde (frette n°14). Il faut donc diviser par 1/8 (8 = 2 puissance 3): 1/9 ÷ 1/8 = 8/9. Ceci nous pose, à peu de choses près, à la frette n°1. Si la corde à vide produit un Do, c'est un Ré qui est un ton au dessus, avec un rapport de fréquences de 9/8. Sur une échelle de fréquences, le ton entre Do et Ré est donc identique au ton entre Fa et Sol.

Les expériences attribuées à tort ou à raison à Pythagore s'arrêtent là. Mais rien ne nous empêche de creuser le principe un peu plus en profondeur.

Le chiffre 5 nous amène à la frette n°16, qui ne laisse plus vibrer qu'un cinquième de la corde. Nous sommes au delà de la deuxième octave (rapport 1/4 - frette n°14) et il faut en soustraire deux pour revenir dans l'ambitus de la première. C'est à dire qu'il faut diviser 1/5 par 1/4 (4 = 2 puissance 2) ce qui fait 4/5. Ce rapport nous place à la frette n°2 et désigne deux grands espacements bornés par trois frettes, donc trois notes successives:

dulci_tierce_majeure

Cet intervalle est une tierce majeure. Le rapport de fréquences associé est l'inverse de celui des longueurs, soit 5/4. Encore un rapport superparticulier. A la tierce majeure d'un Do on trouve un Mi.

A partir d'une tierce majeure comme Do-Mi, on peut atteindre la quinte correspondante Do-Sol en parcourant encore deux espacements vers la droite à partir de Mi. Deux espacements bornés par trois notes forment une tierce, mais celle-ci est différente de la tierce majeure. C'est la tierce mineure. D'un côté (tierce majeure) nous avons deux grands espacements ((= un diton), Do-Ré et Ré-Mi, et de l'autre (tierce mineure), un espacement plus petit, Mi-Fa, et un grand, Fa-Sol. La tierce mineure est complémentaire de la tierce majeure dans la quinte:

complement_tierces

Si on soustrait une tierce majeure (5/4) d'une quinte (3/2) on obtient le rapport: 3/2 ÷ 5/4 = 12/10 qui se réduit à 6/5. Encore un rapport épimore, dont le numérateur est le chiffre 6. Sur un dulcimer standard, il n'y a pas de frette correspondant à la tierce mineure de la note donnée par la corde à vide (en partant de Do, ce serait Ré# ou Mib), mais on peut toujours faire ajouter par un luthier ce qu'on appelle une frette 1+ ou .

De la même manière que pour la quinte et la quarte, on peut chercher les compléments des tierces dans l'octave. A la tierce mineure correspond la sixte majeure, couvrant cinq espacements (4 grands et un plus petit) bornés par six frettes (6 notes consécutives). On obtient son rapport de fréquence en divisant celui de l'octave par celui de la tierce mineure: 2/1 ÷ 6/5 = 10/6 qui se réduit en 5/3. Tiens! ce n'est plus un rapport épimore. A la sixte majeure de Do on trouve un La.

A la tierce majeure correspond la sixte mineure, pour laquelle le dulcimer diatonique ne possède pas de frette à partir de la corde à vide. Elle devrait se trouver entre les frettes n°4 et n°5 et couvrir cinq espacements elle aussi, mais trois grands et deux plus petits. A partir d'un Do, la note serait Sol# ou Lab. Son rapport est celui de l'octave (2/1) moins celui de la tierce majeure (5/4): 2/1 ÷ 5/4 = 8/5. Pas très épimore non plus...:

complement_sixtes

La septième mineure est le complément du ton (majeur) dans l'octave et couvre six espacements (4 grands et 2 plus petits) bornés par 7 frettes (7 notes consécutives) jusqu'à la frette n°6. A partir de Do, la note est Sib et son rapport est celui de l'octave (2/1) moins celui du ton (9/8): 2/1 ÷ 9/8 = 16/9.

Il existe une septième majeure couvrant aussi sept espacements, mais cette fois 5 grands et un plus petit, dont la note à partir de Do est le Si naturel (ni dièse ni bémol). Son rapport est de 15/8 et son complément dans l'octave est le demi-ton diatonique (ou seconde mineure), soit un petit espacement entre deux frettes. C'est le même demi-ton diatonique qui sépare Mi de Fa et fait la différence entre une tierce majeure et une tierce mineure: 5/4 ÷ 6/5 = 25/24. Un dulcimer diatonique un peu ancien ne possède pas de frette pour la septième majeure de la corde à vide, mais la plupart des dulcimers modernes possèdent une frette 6+ ou qui permet de jouer en Do majeur à partir de cette position:

complement_septiemes

Avec les quelques rapports résumés dans le tableau ci-dessous, nous avons trouvé les huit notes de l'octave:

tableau_gamme

(par précaution, je recommande de baisser le son de sortie de l'ordinateur avant de lancer l'écoute):

Ecouter la gamme :

(fichier mp3 réalisé avec ToneGénérator et Audacity)

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Ces calculs constituent un exercice théorique de mathématiques musicales, illustrant les rapports entre les notes et les nombres. Dans la pratique, les intervalles ne sont pas calculés de cette manière et il est probable que la gamme, telle que décrite dans ce tableau et que j'appelle gamme du monochorde, puisse paraître fausse, voire inaudible, pour des oreilles modernes, habituées au tempérament égal. Mais c'est une autre histoire....


A+