archytas_de_TarenteDans un article précédent (Intervalles en fréquences, du 03/03/2018), je construisais une gamme fondée uniquement sur les rapports épimores du type 2:1, 3:2, 4:3, 5:4 etc. En me documentant plus avant, j'ai appris que cette gamme avait été découverte par le pythagoricien et ami de Platon Archytas de Tarente (435/440-360? av. J.C.), ami de Platon et disciple de Philolaos, par ailleurs connu pour ses études sur le vol des oiseaux et la construction d'une machine qu'il appelait lui-même le Pigeon Volant. Voilà pour la vérité historique.

J'en rappelle rapidement le principe de construction, qui est celui de toute gamme naturelle. Il consiste à prendre un multiple entier d'une fréquence fondamentale, ce que nous appelons aujourd'hui un harmonique (ou partiel) et à le ramener dans l'ambitus en retirant un nombre entier n d'octaves en divisant le résultat par 2n. Par exemple pour l'octave (2:1), on prend deux fois la fréquence fondamentale et on divise par 1 puisque 20 = 1. Pour la quinte (3:2), on prend trois fois la fréquence fondamentale et on divise par 21 = 2. Pour la tierce majeure (5:4), on prend 5 fois la fréquence fondamentale et on divise par 22 = 4. Le ton majeur (9:8) répond aussi à ce schéma avec 9 fois la fréquence fondamentale et un retrait de 3 octaves (8 = 23) - en fait c'est le plus haut rapport épimore qui rentre dans ce jeu.

Bien qu'exprimée elle-même par un rapport épimore, la quarte (4:3) a un statut différent, puisqu'en multipliant une fréquence fondamentale par 4 on obtient la super-octave d'icelle, dont la division par 2 nous ramène à l'octave. La tierce mineure (6:5) est à mettre dans le même sac que la quarte, car le numérateur est aussi un multiple de 2 (octave) et le dénominateur aussi un nombre impair d'octaves. On peut cependant les calculer par différence entre des intervalles purs (quarte = octave - quinte, et tierce mineure = quinte - tierce majeure).

Ce n'est pas la seule raison de mon retour sur cette gamme, qui va me permettre d'introduire le système musical en usage de nos jours, à savoir la gamme (bien) tempérée ou à tempérament égal et le système des cents. Pour cela, je reviens quelques instants sur les rapports de fréquences dans la gamme d'Archytas, qui s'avère beaucoup plus complexe et moins innocente qu'elle n'en avait l'air au départ .

Déjà, le demi-ton diatonique, contrairement à ce que dit son nom, ne fait pas la moitié d'un ton. En élevant au carré le rapport 25:24 on trouve 625:576 = 1,085, qui est plus petit que le ton majeur (9:8 = 1,125). Mais ce n'est pas tout!

Entre la tierce mineure (6:5) Do-Ré-Ré#, par exemple, et le ton ou seconde majeure Do-Ré (9:8), on trouve l'espace Ré-Ré# qui a pour rapport 6:5 ÷ 9:8 = 48:45, qui se réduit en 16:15 (épimore) = 1,066... C'est le demi-ton chromatique. Comme le demi-ton diatonique déjà décrit, il est plus petit que le ton, et deux demi-tons chromatiques ne font pas plus un ton entier que deux demi-tons diatoniques. Nous voila donc avec deux sortes de demi-tons. Le demi-ton diatonique qui sépare deux notes de noms différents (exemples: Ré#-Mi, Mi-Fa) et le demi-ton chromatique, un peu plus long, qui sépare deux notes de même nom, dont l'une est altérée (notre exemple ici: Ré-Ré#).

Pis encore: si l'intervalle Ré#-Mi correspond bien à un demi-ton diatonique de même valeur qu'entre Mi-Fa et Si-Do, la somme Ré-Ré# (demi-ton chromatique) + Ré#-Mi (demi-ton diatonique) est de 16:15 * 25:24 = 400:360, qui se réduit en 10:9, rapport épimore encore différent du ton majeur (9/8). Nous voici maintenant à la tête d'un grand ton (9:8, par exemple Do-Ré) et d'un petit ton (10:9, par exemple Ré-Mi)!

archytas

On remarque au passage que le petit ton (Ré-Mi et La-Si) précède toujours le demi-ton diatonique (Mi-Fa et Si-Do'). Le petit ton est lui-même la somme d'un demi-ton diatonique (25:24) et d'un demi-ton chromatique (16:15):

petit_ton

Ne pourrait-on mettre un peu d'ordre dans tout ça?

Dans l'histoire de la musique, on note de très nombreuses tentatives pour trouver la gamme parfaite. On peut citer la gamme de Pythagore ou celle de Zarlino, dont je reparlerai à propos de la musique ancienne. Certaines de ces tentatives ont abouti à des systèmes musicaux qui ont pu perdurer pendant plusieurs siècles, d'autres ont échoué dès le départ. Aucun de ces modèles n'est parfait et cela a généré un travail constant de reprises et de modifications. On appelle tempérament un moyen de tempérer les imperfections de ces modèles.

simon_stevinUne solution a été trouvée au XVIIème siècle, avec la gamme dite tempérée, ou à tempérament égal. Le principe consiste à diviser l'octave en douze demi-tons égaux. Les premières tentatives d'une telle division nous font remonter à Vincenzo Galilei (1520-1591 - le papa du "grand" (Galileo) et musicien/luthier de son état) et à Marin Mersenne (1588-1648), déjà connu de nous pour ses lois de l'acoustique. On doit finalement au mathématicen flamand Simon Stevin (1548-1620) d'avoir identifié la formule nécessaire pour calculer la taille de 12 demi-tons égaux, d'une attirante simplicité: le demi-ton vaut la racine douzième de 2 (21/12) (environ 1.05946) qui, lorsqu'on la multiple douze fois de suite par elle-même (ce qui revient à faire la somme de douze de ces demi-tons) donne 212/12 = 21 = 2, c'est à dire le rapport des fréquences de l'octave.

C'est sur ce modèle que sont accordés nos instruments modernes et qu'est composée la musique dans laquelle nous baignons quotidiennement par les médias. Notre oreille y est tellement habituée aujourd'hui que des gammes comme celle d'Archytas nous semblent lègèrement (ou fortement, selon les sensibilités) fausses. Pourtant il n'y a pas plus de justesse dans le tempérament égal que dans n'importe quel autre modèle, peut-être même moins. Seuls les octaves y sont des intervalles mathématiquement justes, avec leur rapport de fréquences égal à deux. Tous les autres intervalles, les quintes, les quartes, les sixtes etc. etc. sont plus ou moins légèrement "faux" par rapport aux lois de l'acoustique. On peut comprendre que ce tempérament n'ait finalement été accepté que tardivement par la communauté des musiciens.

Un autre point qui mérite d'être traîté ici est le système de comparaison des intervalles entre eux. Jusqu'ici, j'ai utilisé les rapports de fréquences, mais il faut bien admettre que cette représentation n'est pas très parlante. Notre esprit est plus habitué à mettre côte à côte des objets de différentes hauteurs pour pouvoir les comparer. Au premier coup d'œil, je peux dire que ma maison est moins haute que Notre Dame. Il est donc temps d'introduire le système linéaire des cents, plus facile à manipuler que les rapports de fréquences.

Dans le tempérament égal, le cent est par définition la centième partie du demi-ton. Autrement dit, un demi-ton vaut 100 cents, un ton vaut 200 cents et l'octave qui contient douze demi-tons vaut 1200 cents. Jusque là c'est donné. Pour trouver la mesure en cents de n'importe quel rapport de fréquences, nous exprimons d'abord ce rapport comme une puissance de 2 (c'est à dire qu'on calcule son logarithme en base 2 - la calculette de mon ordinateur fait ça très bien), et on multiplie le résultat par 1200. Pour deux fréquences f1 et f2 (f2>f1):

formule_cents

Pour un grand ton (9:8) de la gamme d'Archytas par exemple, ma calculette donne un log2 = 0,169925..., et en multipliant cette valeur par 1200 j'obtiens 203,91... cents, soit ≈ 204 cents en arrondissant. Un grand ton de 9:8 est donc très légèrement supérieur en hauteur (de 4 cents) au ton (200 cents) de la gamme tempérée. La comparaison devient vraiment très aisée.

Comment ça marche? Le truc vient de l'octave dont le rapport de fréquences est 2:1, soit 2. Le log2 de 2 vaut 1 et en multipliant 1 par 1200 on trouve qu'une octave vaut 1200 cents. Voilà, c'est tout!

Il existe une autre unité, moins souvent utilisée mais qui sert le même but. C'est le savart, du nom de Félix Savart (1791-1841). Selon un principe analogue, l'intervalle en savarts entre deux fréquences f1 et f2 (f2 > f1) est égal à 1000 fois le logarithme décimal de leur rapport:

formule_savarts

Le logarithme décimal de 2 est 0,301... Après arrondi l'octave correspond donc à peu près à 301 savarts et on arrondit souvent le savart à 1/300ème d'octave. Donc un demi-ton fait 300/12 = 25 savarts et re-donc un savart vaut sensiblement 4 cents (en fait, 3,986...).


Pour que tout soit bien clair, je compare dans le tableau qui suit les intervalles de la gamme d'Archytas et ceux de la gamme tempérée d'aujourd'hui, avec leurs valeurs en cents (j'ai rajouté les tons et demi-tons manquants):

tableau_cents

On comprend mieux ainsi pourquoi la gamme d'Archytas semblait si curieuse à l'oreille.

Pour notre plus grand soulagement, le petit ton est effectivement plus petit que le grand. C'est sur cette découverte scientifique majeure que je m'arrête pour aujourd'hui.

A +