pitagorasIndépendamment des légendes et de l'aura de merveilleux qui entoure le personnage de Pythagore, il demeure que l'échelle musicale qui porte son nom, la gamme dite de Pythagore ou intonation pythagoricienne, a été utilisée pendant des siècles, pratiquement depuis le VIème siècle avant notre ère jusqu'à la fin du Moyen-Âge. On ne peut donc pas s'intéresser à la musique ancienne, et en particulier à la musique médiévale, sans avoir quelques notions à ce sujet.

La philosophie des pythagoriciens dépasse le propos de cet article, mais il est bon de rappeler que cette école soutenait l'idée d'une relation entre les nombres et l'ordre universel, dont la musique fait partie. Pour ce qui nous concerne, tout ou à peu près est résumé dans le symbole mystique de la tétraktys (ou tétrade, ou encore tetractys de la décade) qui est un triangle équilatéral de quatre unités de côtés avec 10 points arrangés en 4 rangs de 1, 2, 3 et 4 points:

(1+ 2 + 3+ 4 = 10).

tetraktys

Entre autres interprétations, ce symbole cacherait les rapports harmoniques des intervalles de quarte (3:4; 3 au dessus de 4), de la quinte (2:3; 2 au dessus de 3) et de l'octave (1:2; un au dessus de 2) [Note: n'oublions pas que les grecs comptaient en longueurs de cordes vibrantes et non en fréquences, d'où l'inversion des rapports qui nous sont familiers...]. On n'a pas besoin de plus de nombres pour comprendre la gamme de Pythagore et la musique de plusieurs siècles, et même le 4 est superflu, en tant que puissance de 2. Il a fallu attendre le XVème siècle et la Renaissance pour sortir de ce "carcan" musical.

Voici donc à quoi devait ressembler l'intonation pythagoricienne. La méthode de calcul des intervalles ayant déjà été expliquée et utilisée à deux reprises dans des articles précédents (voir Intervalles en fréquences du 03/03/2018 et Ton, tontaine et demi-ton du 30/03/2018 ), on ne va pas y passer la journée. Simplement, et pour ne pas s'empétrer dans les notes, on part d'une fondamentale qui (forcément) est à l'unisson d'elle-même (rapport 1:1) et on multiplie ce rapport par 3:2 pour trouver la première quinte, puis encore par 3:2 pour trouver la seconde, etc. (panneau A sur la figure ci-dessous). En théorie, on devrait pouvoir superposer 7 quintes successives (q1-q7) et 5 octaves avant de retomber sur ses pieds:

quite_quintes

Comme la plupart des intervalles trouvés sortent de l'octave de référence (octave 1), on enlève le nombre adéquat d'octaves pour ramener un intervalle dans l'ambitus de référence (panneau B) en divisant son rapport par la puissance de 2 correspondante: 1 pour l'octave 2 (21), 4 pour l'octave 3 (22), 8 pour l'octave 4 (23) et 16 pour l'octave 5 (24). C'est ce que les anciens grecs appelaient division du diapason ( gr. diapason = lat. octave). La gamme diatonique est obtenue (panneau C) en replaçant les intervalles dans l'ordre des rapports croissants.

Le septième calcul donne, après réduction, un rapport de 2187:2048 = 1,0678..., soit ≈ 114 cents, un peu plus que l'unisson, mais un peu moins que le premier intervalle (9:8 = 1,125, soit ≈ 204 cents). Contrairement à ce qu'on aurait pu attendre, le septième calcul ne tombe pas juste à la fondamentale de l'octave 5. De fait, aucun nombre de quintes pures superposées ne peut correspondre précisément à un nombre entier d'octaves, car les nombres 2 et 3 sont premiers entre eux. On trichera donc en prenant le rapport d'octave pur de 2:1. Par rapport à la fondamentale, qui est à l'unisson d'elle même (1:1), on obtient :

tableau_quintes

Comme on l'a fait pour la gamme d'Archytas (voir Ton, tontaine et demi-ton du 30/03/2018), on peut faire dériver un certain nombre d'intervalles supplémentaires par différence entre l'octave et/ou la quinte et nos intervalles calculés. Ainsi:

tableau_complements

On a ici les 13 intervalles habituels de la musique médiévale, de l'unisson à l'octave, tels qu'énumérés d'une part par un auteur anonyme vers 1290 et par Jacques de Liège (v. 1260 - après 1330) autour de 1325.

La gamme de Pythagore est une gamme diatonique, avec cinq tons pleins (T) et deux demi-tons diatoniques (d), dans une séquence bien précise, comme le montre la figure ci-dessous  (panneau D):

lydien_de_fa

On voit tout de suite ce qui n'allait pas dans le septième calcul plus haut: toutes les quintes, comme par exemple 1-5 (fa-do), comportent 3 tons pleins T et un demi-ton d (3 x 204 + 90 = 702 cents) , alors que la quinte 4-1' (si-fa') comporte seulement deux tons pleins T et deux demi-tons d (2 x 204 + 2 x 90 = 588 cents) . Elle est plus courte que les autres, et pas qu'un peu. La multiplication par 3:2 est donc inadaptée à ce dernier calcul et nous amène trop loin de 114 cents. Notez bien cette valeur; elle ne va pas tarder à prendre du sens.

Mais venons en aux notes. Le mode lydien (fa-fa') ou mode V du chant grégorien était une échelle musicale très populaire dans la période gothique (panneau E). La fondamentale est fa. Sur un dulcimer traditionnel, le mode lydien commence avec la fondamentale (ou tonique) sur la frette 6. Je prépare un article dédié aux modes du dulcimer.

note_11_2

On remarque que cette gamme s'écrit avec des notes non altérées. La gamme diatonique qui nous est plus familière et qu'on appelle aujourd'hui do majeur commence, elle, avec le do en position 5 du mode lydien et imite les deux tétracordes disjoints (TTd) du genre diatonique grec ancien (voir Sur la corde du 06/02/2018), avec des notes extérieures distantes d'une quarte (do-fa' et sol'-do') joints par un ton plein (T Td T TTd):

diatonique

Pour évaluer les qualités de cette intonation, je rappelle ici les deux dimensions des intervalles musicaux. Horizontalement, la successsion des intervalles entre les notes constitue la ligne mélodique. C'est elle qui permet de reconnaître un air, quelque soit la note de départ. Verticalement, les "empilements" de deux ou plusieurs notes jouées simultanément forment ce que nous appelons aujourd'hui des accords, constitutifs de l'harmonie:

dimensions

Voici l'air bien connu de "Ah vous dirais-je maman" synthétisé avec les fréquences déduites de l'intonation de Pythagore, en partant d'un do3 = 261,63 Hz (fichier mp3 réalisé avec ToneGénérator et Audacity):

Habituée au tempérament égal, mon oreille tique sur la plupart des intervalles horizontaux: la quinte initiale (do-sol) me paraît trop haute, de même que le ton montant (sol-la) puis descendant (la-sol). Pareil dans la redescente vers le do final: le demi-ton diatonique fa-mi semble trop petit et les tons pleins mi-ré et ré-do trop grands. D'où une impression de déséquilibre et de fausseté, une fois le morceau terminé. Et pourtant ...

moines_chantant_1Pourtant, avec un ton plein généreux de 204 cents et un demi-ton diatonique plutôt étroit de 90 cents, la gamme pythagoricienne offre des contrastes expressifs pour les mélodies de l'époque médiévale. Ce système d'accord convient parfaitement à la monodie grégorienne par exemple, pensée comme un "dialogue avec la résonance, dans une perspective mystique".

Cette vidéo permet d'entendre un exemple de chant grégorien: Viderunt omnes, chanté par l'ensemble Hilliard:

1. Music of the Middle Ages, PLAINCHANT

Verticalement, les repères dont nous disposons aujourd'hui pour juger de la qualité d'un intervalle sont les rapports de fréquences des harmoniques naturelles d'un son (plus à ce sujet dans un prochain article). On sait déjà que la note à l'octave a pour fréquence le double de la fondamentale (fdo1 x 2 = fdo2). Le rapport de quinte juste correspond au triple de la fréquence fondamentale (fdo1 x 3 = fsol2), indépendemment du fait qu'on doive lui retirer une octave pour avoir sol1. La fréquence de la tierce majeure est 5 fois celle de la fondamentale (fdo1 x 5 = fmi3) dont on retire ensuite deux octaves pour obtenir mi1. En multipliant par 9 la fréquence fondamentale on obtient la seconde mineure ou ton (fdo1 x 9 = fré4) dont on retire trois octaves pour avoir ré1. Enfin, en multipliant par 15 la fréquence fondamentale, on obtient la septième majeure (fdo1 x 15 = fsib4) dont on retire 3 octaves pour avoir si♭1. L'intonation de Pythagore tombe juste pour l'octave, la quinte, la seconde et la septième majeures.

Sans parler de l'unisson (qui n'est pas un intervalle), l'octave, la quinte et forcément la quarte, qui est leur différence, sont des intervalles idéalement euphoniques (même si la quarte est un peu moins bien perçue que la quinte). Ils associent des sons qui se mélangent agréablement et donnent une impression de repos, d'harmonie et de stabilité. Par conséquent, ce sont des intervalles stables, qui constituent la trame de la polyphonie médiévale et qui, a ce titre, ne sont pas limités en durée à l'intérieur d'une pièce musicale.


Pour évaluer la dimension verticale d'une intonation, il faut pouvoir disposer de notes émises simultanément par deux (au moins) voix differentes. Parallèlement au chant grégorien, le haut Moyen-Âge voit se développer une sorte de chant à plusieurs voix appelée organum, dans lequel la voix principale (lat. vox principalis) est accompagnée par une ou deux voix organales (lat. vox organalis) en parallèle, l'une (aiguë) à la quinte supérieure du chant et l'autre, grave, à la quarte inférieure, comme illustré ci-dessous:

organum_parallele_cd

 L'organum parallèle est surtout décrit dans les Tropaires de Winchester (v. 1000) qui en contient de l'ordre de 160 pièces.

Dans son (De) Musica écrit vers 880, Hucbald de Saint Amand (v. 850-930) explique la consonance comme "une fusion rationnelle et harmonieuse de deux sons, dont la formation nécessite leur émission simultanée dans une seule et même performance vocale". Hucbald distingue à l'époque six consonances, trois simples (quarte, quinte et octave) et trois composées (les mêmes redoublées à l'octave).

L'octave scindée en quinte et quarte superposées est un intervalle stable qui dure d'un bout à l'autre de la phrase. Cette combinaison est trouvée dans des sources écrites du IXème siècle et existait sans doute encore bien avant. Elle est toujours considérée au XIIIème siècle comme l'unité d'harmonie multi-vocale complète - le théoricien Jean de Grouchy (v. 1255 - 1320) l'appelle trina harmoniae perfectio (litt. triple perfection de l'harmonie) - avec une préférence, pointée par Jacques de Liège pour la quinte inférieure et la quarte supérieure (à l'inverse donc de la figure).

Mais attention! Dans la gamme diatonique, pratiquement toutes les suites de quatre notes (do-fa, ré-sol, mi-la, sol-do, la-ré et si-mi) sont constituées de deux tons et un demi-ton (diatonique), mais la suite fa-si comporte trois tons pleins. C'est une quarte augmentée (A4) ou triton. A chanter en quartes et/ou en quinte, on risque de tomber sur le triton fa-si ou sur son complément à l'octave, le semitriton ou quinte diminuée si-fa (d5), tous deux considérés à l'époque comme des dissonances parfaites. Ce sont des intervalles au plus haut niveau d'instabilité, introduisant le plus fort degré de nervosité et de tension dans la musique.

diabolus_in_musica

L'introduction d'intervalles instables parmi les intervalles stables qui constituent la trame de la polyphonie crée une tension qui, à son tour, appelle un soulagement, donc un retour à la stabilité. Cet appel est d'autant plus fort, et l'urgence de l'apaisement d'autant plus grande, que la tension introduite est plus élevée (voir degrés 1 à 3 du tableau ci-dessus). On nomme cet apaisement résolution et, dans cette opération, l'intervalle instable évolue vers l'intervalle stable le plus proche. Dans la musique médiévale et de la Renaissance, la résolution finale d'une phrase s'appelle une cadence.

guido

Dans le Micrologus (1025) Guido d'Arezzo recommande l'introduction de la seconde et de la tierce majeures dans l'organum pour donner un peu de liberté à la voix organale, jusqu'alors figée dans les quintes et/ou les quartes. Une nouvelle forme d'organum dite organum oblique se généralise. On en trouvait déjà des exemples au IXème siècle dans le Musica enchiriadis (v. 890) d'un auteur anonyme. Un exemple caractéristique est illustré par les extraits ci-dessous (VP: voix principale, VO: voix organale):

menchiriadis

Dans ce cas précis, l'instabilité est introduite en début de phrase, quand les deux voix à l'unisson se séparent par un mouvement oblique, d'abord sur une M2, puis une M3 qui se résout en quarte, créant un effet de bourdon. Ensuite seulement s'établit le mouvement parallèle à la quarte et ce mouvement parfaitement reposant se termine sur un unisson tout aussi calme.

Noter le départ des mouvement sur do (première ligne) et sol (deuxième ligne). Ce sont les degrés d'appui les plus fréquemment utilisés pour raison d'euphonie, car ils sont simultanément à la base d'une M2 (do-ré, sol-la), d'une M3 (do-mi, sol-si), d'une quarte juste (do-fa, sol-do') et d'une quinte juste (do-sol, sol-ré'). Les notes ré et la sont à écarter parce qu'elle servent de point d'appui à des m3 (ré-fa, la-do) dont l'emploi est fortement déconseillé à cette époque. Les notes si et mi sont carrément proscrites parce qu'elles servent d'appui non seulement à des m3 (si-ré, mi-sol) mais surtout à des m2 (si-do, mi-fa) formellement interdites. Fa sera plus tard ajouté à la liste des degrés d'appui recommandés, quand l'invention du si bémol permettra d'éviter le triton fa-si (A4) et son complément, tout aussi dissonant, si-fa' (d5).

Cette vidéo permet d'entendre l'organum oblique dans sa totalité, chanté par l'ensemble Capella Duriensis au monastère de Sao Pedro da Ferreira (Portugal):

Musica Enchiriadis IX sec.- Rex Caeli Domine.wmv

Dès le XIème siècle, l'organum s'enrichit grandement du mouvement contraire, qui préfigure le contrepoint de la Renaissance. Une voix monte quand l'autre descend. Les deux peuvent même se croiser. L'accompagnement crée ainsi une seconde mélodie en contrepoint de la ligne principale. Dans le déchant (lat. discantus) ou organum libre, l'accompagnement devient la voix supérieure plus importante, soutenue par la mélodie liturgique (lat. cantus firmus = chant ferme) qui passe à la voix inférieure et prend le nom de ténor ( = teneur, celui qui tient). Cette flexibilité demande d'ajouter des points d'articulation réalisés par de nouveaux intervalles instables. A son aboutissement, ce type d'organum admettra des tierces et des sixtes comme consonances, imparfaites sans doute, mais consonances quand-même.

Voici un exemple tiré du manuscrit anonyme Ad Organum Faciendum (litt: de la manière de faire l'organum). Ce texte, conservé à Milan, date de la fin du XIème siècle (v. 1100).  La polyphonie y est appliquée au début (lat. incipit) de l'Alleluia et du verset Iustus ut palma... (illustrés ci-dessous). Le reste est chanté en monodie et n'est pas représenté:

iustus_ut_palma_cd

C'est un organum libre où les consonances parfaites de quarte, quinte, octave et unisson forment des mouvements parallèles (ex. 4 5 4 5 5, 5 4 4 5, etc), interrompus par des mouvements contraires où les voix se séparent et se rapprochent (ex. 5 8 4, 5 8 5, 4 1 4, 4 1 5, etc.).  

La pièce commence par un Alléluia (première ligne ci-dessus) dont le mouvement démarre sur une octave. On trouve ensuite un si bémol. Bon sang mais c'est bien sûr! L'intervalle fa-si est le fameux triton. Le bémol est là pour abaisser le si et produire une quarte de deux tons plus un demi-ton. Vade retro!  L'Alleluia se termine sur une vocalise de la voix organale, appelée mélisme, tandis que la voix principale maintient (cantus firmus) le mi en bourdon jusqu'à l'unisson final.

Vers le milieu de la deuxième ligne (ut pal-ma ...), les deux voix se croisent. La voix organale passe sous la voix principale avant de faire un bond d'une dizaine de notes du La au do'. En plus de m6, la suite du mouvement montre des m3 qui se résolvent en octaves et un occursus (ou occursio = motif terminal) complexe en mouvement contraire m6-M3-m6-octave. On trouve encore un si bémol dont on se demande cette fois ce qu'il vient faire ici (m3 à la 7ème note de la troisième ligne), d'autant plus que M3 est en général plus appréciée que m3 à cette époque.

Ce style est à l'origine de l'un des genres polyphoniques les plus marquants des XIIème et XIIIème siècles: le conduit. Cette vidéo permet d'entendre l'intégralité de cette polyphonie:

Ad organum faciendum - Aleluya "Justus ut palma"

Ceci préfigure l'organum mélismatique, ou organum fleuri, qui apparaît en Aquitaine (Saint Martial de Limoges, entre autres) vers 1100 et se développe vers le milieu du XIIème siècle. Il est basé non plus sur le simple point contre point, note pour note (lat. punctus contra punctum) de voix parallèles, mais sur un déchant où chaque note de la mélodie est tenue par la voix principale, pendant que la voix organale déroule des vocalises pouvant contenir jusqu'à vint notes. Cette technique est principalement documentée dans le traité Ars organi du Vatican (v. 1170). Les tierces et les sixtes sont de plus en plus présentes.

moines_chantant_3Au XIIIème siècle, le conduit utilise le procédé de l'organum fleuri et de cette combinaison naît un genre nouveau, le motet. La musique exploite audacieusement le spectre complet des intervalles de l'intonation pythagoricienne, du plus harmonieux au plus agressif et discordant. La quarte va perdre du terrain au profit des tierces qui finiront par l'emporter à la Renaissance, où d'autres intonations vont prendre le dessus aux dépens de l'intonation pythagoricienne. Cependant, les mélodies se déroulent toujours horizontalement et la dimension verticale ne fait  que se deviner. Si les cadences doivent faire entendre des consonances plus ou moins parfaite, les rencontres de notes entre les cadences ne sont pas encore soumises à des règles particulières (ce que nous appellerions aujourd'hui règles d'accords).

Les consonances sont alors rigoureusement décrites et cataloguées par des théoriciens comme Jacques de Liège et Jean de Grouchy: consonances parfaites (unisson, octave, quinte, quarte), consonances imparfaites (les tierces), dissonances imparfaites (seconde et sixte majeures, septième mineure) et dissonances parfaites (demi-ton diatonique, septième majeure, triton, sixte mineure).

- Et le si bémol?
- Quoi, le si bémol?
- Comment est-il arrivé là? D'où sort-il?
- Ah oui, le si bémol!  Euh..., une autre fois peut-être?

Dans l'attente, voici un organum fleuri à deux voix (organum duplum) interprété par l'ensemble Diabolus in Musica. Ecoutons bien comment la voix principale (grave) chante une mélodie grégorienne dont les notes sont prolongées, tandis que la voix organale (plus haute) déroule ses vocalises:

Organum Duplum: Alleluia, hic Martinus

 A+