pitagorasIndépendamment des légendes et de l'aura de merveilleux qui entoure le personnage de Pythagore, il demeure que l'échelle musicale qui porte son nom, la gamme dite de Pythagore ou intonation pythagoricienne, a été utilisée pendant des siècles, pratiquement depuis le VIème siècle avant notre ère jusqu'à la fin du Moyen-Âge. On ne peut donc pas s'intéresser à la musique ancienne, et en particulier à la musique médiévale, sans avoir quelques notions à ce sujet.

La philosophie des pythagoriciens dépasse le propos de cet article, mais il est bon de rappeler que cette école soutenait l'idée d'une relation entre les nombres et l'ordre universel, dont la musique fait partie. Pour ce qui nous concerne, tout ou à peu près est résumé dans le symbole mystique de la tétraktys (ou tétrade, ou encore tetractys de la décade) qui est un triangle équilatéral de quatre unités de côtés avec 10 points arrangés en 4 rangs de 1, 2, 3 et 4 points:

(1+ 2 + 3+ 4 = 10).

tetraktys

Entre autres interprétations, ce symbole cacherait les rapports harmoniques des intervalles de quarte (3:4; 3 au dessus de 4), de la quinte (2:3; 2 au dessus de 3) et de l'octave (1:2; un au dessus de 2) [Note: n'oublions pas que les grecs comptaient en longueurs de cordes vibrantes et non en fréquences, d'où l'inversion des rapports qui nous sont familiers...]. On n'a pas besoin de plus de nombres pour comprendre la gamme de Pythagore et la musique de plusieurs siècles, et même le 4 est superflu, en tant que puissance de 2. Il a fallu attendre le XVème siècle et la Renaissance pour sortir de ce "carcan" musical.

Voici donc à quoi devait ressembler l'intonation pythagoricienne. La méthode de calcul des intervalles ayant déjà été expliquée et utilisée à deux reprises dans des articles précédents (voir Intervalles en fréquences du 03/03/2018 et Ton, tontaine et demi-ton du 30/03/2018 ), on ne va pas y passer la journée. Simplement, et pour ne pas s'empétrer dans les notes, on part d'une fondamentale qui (forcément) est à l'unisson d'elle-même (rapport 1:1) et on multiplie ce rapport par 3:2 pour trouver la première quinte, puis encore par 3:2 pour trouver la seconde, etc. (panneau A sur la figure ci-dessous). En théorie, on devrait pouvoir superposer 7 quintes successives (q1-q7) et 5 octaves avant de retomber sur ses pieds:

quite_quintes

Comme la plupart des intervalles trouvés sortent de l'octave de référence (octave 1), on enlève le nombre adéquat d'octaves pour ramener un intervalle dans l'ambitus de référence (panneau B) en divisant son rapport par la puissance de 2 correspondante: 1 pour l'octave 2 (21), 4 pour l'octave 3 (22), 8 pour l'octave 4 (23) et 16 pour l'octave 5 (24). C'est ce que les anciens grecs appelaient division du diapason ( gr. diapason = lat. octave). La gamme diatonique est obtenue (panneau C) en replaçant les intervalles dans l'ordre des rapports croissants.

Le septième calcul donne, après réduction, un rapport de 2187:2048 = 1,0678..., soit ≈ 114 cents, un peu plus que l'unisson, mais un peu moins que le premier intervalle (9:8 = 1,125, soit ≈ 204 cents). Contrairement à ce qu'on aurait pu attendre, le septième calcul ne tombe pas juste à la fondamentale de l'octave 5. De fait, aucun nombre de quintes pures superposées ne peut correspondre précisément à un nombre entier d'octaves, car les nombres 2 et 3 sont premiers entre eux. On trichera donc en prenant le rapport d'octave pur de 2:1. Par rapport à la fondamentale, qui est à l'unisson d'elle même (1:1), on obtient :

tableau_quintes

Comme on l'a fait pour la gamme d'Archytas (voir Ton, tontaine et demi-ton du 30/03/2018), on peut faire dériver un certain nombre d'intervalles supplémentaires par différence entre l'octave et/ou la quinte et nos intervalles calculés. Ainsi:

tableau_complements

On a ici les 13 intervalles habituels de la musique médiévale, de l'unisson à l'octave, tels qu'énumérés d'une part par un auteur anonyme vers 1290 et par Jacques de Liège (v. 1260 - après 1330) autour de 1325.

La gamme de Pythagore est une gamme diatonique, avec cinq tons pleins (T) et deux demi-tons diatoniques (d), dans une séquence bien précise, comme le montre la figure ci-dessous  (panneau D):

lydien_de_fa

On voit tout de suite ce qui n'allait pas dans le septième calcul plus haut: toutes les quintes, comme par exemple 1-5 (fa-do), comportent 3 tons pleins T et un demi-ton d (3 x 204 + 90 = 702 cents) , alors que la quinte 4-1' (si-fa') comporte seulement deux tons pleins T et deux demi-tons d (2 x 204 + 2 x 90 = 588 cents) . Elle est plus courte que les autres, et pas qu'un peu. La multiplication par 3:2 est donc inadaptée à ce dernier calcul et nous amène trop loin de 114 cents. Notez bien cette valeur; elle ne va pas tarder à prendre du sens.

Mais venons en aux notes. Le mode lydien (fa-fa') ou mode V du chant grégorien était une échelle musicale très populaire dans la période gothique (panneau E). La fondamentale est fa. Sur un dulcimer traditionnel, le mode lydien commence avec la fondamentale (ou tonique) sur la frette 6. Je prépare un article dédié aux modes du dulcimer.

note_11_2

On remarque que cette gamme s'écrit avec des notes non altérées. La gamme diatonique qui nous est plus familière et qu'on appelle aujourd'hui do majeur commence, elle, avec le do en position 5 du mode lydien et imite les deux tétracordes disjoints (TTd) du genre diatonique grec ancien (voir Sur la corde du 06/02/2018), avec des notes extérieures distantes d'une quarte (do-fa' et sol'-do') joints par un ton plein (T Td T TTd):

diatonique

Pour évaluer les qualités de cette intonation, je rappelle ici les deux dimensions des intervalles musicaux. Horizontalement, la successsion des intervalles entre les notes constitue la ligne mélodique. C'est elle qui permet de reconnaître un air, quelque soit la note de départ. Verticalement, les "empilements" de deux ou plusieurs notes jouées simultanément forment ce que nous appelons aujourd'hui des accords, constitutifs de l'harmonie:

dimensions

Voici l'air bien connu de "Ah vous dirais-je maman" synthétisé avec les fréquences déduites de l'intonation de Pythagore, en partant d'un do3 = 261,63 Hz (fichier mp3 réalisé avec ToneGénérator et Audacity):

Habituée au tempérament égal, mon oreille tique sur la plupart des intervalles horizontaux: la quinte initiale (do-sol) me paraît trop haute, de même que le ton montant (sol-la) puis descendant (la-sol). Pareil dans la redescente vers le do final: le demi-ton diatonique fa-mi semble trop petit et les tons pleins mi-ré et ré-do trop grands. D'où une impression de déséquilibre et de fausseté, une fois le morceau terminé. Et pourtant ...

moines_chantant_1Pourtant, avec un ton plein généreux de 204 cents et un demi-ton diatonique plutôt étroit de 90 cents, la gamme pythagoricienne offre des contrastes expressifs pour les mélodies de l'époque médiévale. Ce système d'accord convient parfaitement à la monodie grégorienne par exemple, pensée comme un "dialogue avec la résonance, dans une perspective mystique".

Cette vidéo permet d'entendre un exemple de chant grégorien: Viderunt omnes, chanté par l'ensemble Hilliard:

1. Music of the Middle Ages, PLAINCHANT

Nous verrons prochainement comment la polyphonie médiévale a tiré profit des intervalles d'octave, de quarte et de quinte, pour ensuite s'en affranchir progressivement, en intégrant les tierces est d'autres intervalles plus complexes.

note_11_final

A+