n29936Le propos de cet article est de faire une sorte de bilan des résonances de l'air et du bois dans un dulcimer des Appalaches et de voir si, grâce à cette connaissance, le luthier peut anticiper la qualité du son de l'instrument en cours de construction. Pour décrire cette qualité, les mots employés sont les traductions directes des termes anglais. Les adjectifs "moëlleux" (angl. mellow) et "chaud" (angl. warm) et les substantifs dérivés, "moëlleux" (ang. mellowness) et "chaleur" (angl. warmth) font plutôt référence à des fréquences situées dans le bas du spectre sonore (en dessous de 500 Hz); l'adjectif "brillant" (angl. bright) et son substantif dérivé "brillance" (angl. brightness) se réfèrent à des fréquences plus élevées. Un son "plat" (angl. flat) semble dépourvu de qualité (➝ "platitude", angl. flatness) et s'oppose à la "présence" (angl. presence) du son. La qualité décrite ici ne correspond donc pas précisément au timbre qui, lui, permet de reconnaître le son d'un dulcimer et de le distinguer de celui, par exemple, d'une guitare ou d'une mandoline.

(un site sympa de clip-arts de dulcimers pour illustrer le blog)

Encore une fois, (voir l'article Sous le capot, du 29/11/2018), beaucoup des illustrations qui suivent sont de Mr. Richard Troughear, luthier à Brogo en Nouvelles-Galles du Sud (Australie), et proviennent du blog EverythingDulcimer, aujourd'hui fermé (cf. l'article Catastrophe annoncée du 28/05/2018). C'est à ma connaissance et à ce jour l'unique somme existante de résultats expérimentaux concernant l'acoustique du dulcimer des Appalaches. Mr. Troughear m'a aimablement donné l'autorisation écrite d'utiliser quelques-unes de ses images pour illustrer ce blog (voir l'article Sous le capot, du 29/11/2018).

Il est évident que le son d'un dulcimer provient initialement des cordes métalliques pincées ou grattées, mais que serait ce son sans l'amplification réalisée par la caisse de résonance, cette boîte de bois remplie d'air?

Si la production de son par une corde vibrante met principalement en jeu des ondes transversales (voir l'article Petits jeux harmoniques du 15/03/2019), la propagation du son dans un milieu comme l'air implique essentiellement, quant à elle, des ondes longitudinales. La vibration d'un corps solide, comme une branche de diapason ou la membrane d'un haut parleur, met en mouvement les molécules d'air ambiant sur de courtes distances, dans le sens de la propagation du son. En conséquence, ces molécules se tassent en certains endroits du trajet de l'onde et se raréfient en d'autres, avant de revenir à leur position d'équilibre. Il se produit ainsi une vague de compression/dépression de l'air ambiant, qui atteint notre oreille et fait vibrer notre tympan. Les variations de pression (ΔP, par rapport à la pression atmosphérique) constituent ce qu'on appelle la pression acoustique (exprimée en Pascals) qui, en un point donné du trajet du son est une fonction sinusoïdale du temps :

son_propagation

Pour le propos d'aujourd'hui, il est important de retenir que dans certaines conditions, les vibrations longitudinales peuvent donner lieu à des ondes stationnaires, au même titre que les vibrations transversales. Dans un espace clos, l'onde sonore est réfléchie par les parois et les ondes "retour" entrent en interférence avec les ondes "aller". Pour certaines fréquences, l'interférence conduit à un phénomène de résonance, où les amplitudes des deux ondes s'additionnent. Dans le cas d'une corde vibrante de longueur L pincée en son centre, la vibration fondamentale de longueur d'onde λ = 2*L montre un ventre (ou anti-nœud) de mobilité au centre de la corde et des nœuds (= mobilité nulle) aux extrémités.

allen_resonances

Quand l'air enfermé dans une boîte entre en résonance, la pression acoustique montre le profil inverse: elle est maximale (= ventre ou anti-nœud) au niveau des parois et quasiment nulle (= nœud) au centre de la boîte. La paroi impose un ventre de pression acoustique à son niveau. La figure ci-contre illustre les premiers harmoniques de quelques ondes stationnaires ou modes acoustiques dans la caisse de résonance d'un instrument à cordes (extrait de W. D. Allen, Tuning air resonance, Americal Lutherie, #13, 1968).

Une ou plusieurs ouïes percées dans le "couvercle" permettent d'entendre beaucoup mieux le son produit par l'air dans une caisse de résonance : les ondes stationnaires qui n'ont pas de nœud (c'est à dire où ΔP ≠ 0) au niveau des ouvertures peuvent alors mettre l'air extérieur en vibration. De plus, comme je l'ai déjà signalé dans l'article Sous le capot du 29/11/2018, l'ouverture crée un nouveau type d'onde stationnaire, différent du premier, qui correspond aux oscillations du bouchon d'air contenu dans cette ouverture. Avec une boîte aux parois rigides, c'est ce qu'on appelle la résonance de Helmholtz, dont la fréquence ne dépend que du volume d'air enclos et des dimensions de l'ouverture, à savoir sa surface et son épaisseur. Dans un instrument à cordes aux parois flexibles, un couplage vibrationnel air/bois abaisse la fréquence de cette résonance, qu'il faut alors appeler première (ou plus basse) résonance de l'air, symbolisée A0. C'est la fréquence de la note entendue lorsqu'on souffle dans l'ouïe de l'instrument. Cette fréquence est toujours plus basse que celle du mode acoustique longitudinal interne (celui de plus grande longueur d'onde, donc de plus basse fréquence), symbolisé A1.

On peut faire un bilan des vibrations de l'air dans un dulcimer en introduisant dans la caisse de résonance, par une des ouïes, un petit haut-parleur émettant en continu un son dont on fait varier linéairement la fréquence, par exemple de 100 à 2000 Hz, et en enregistrant le son résultant à l'aide d'un petit micro introduit par une autre des ouïes.

cliché R. Troughear, avec son aimable autorisation

Le son émis par le haut-parleur fait résonner l'air à certaines fréquences, qu'on peut identifier en analysant le spectre du son recueilli par le micro. Voici, toujours d'après Richard Troughear, un exemple de spectre (en angl. frequency sweep spectrum) enregistré entre une petite et une grande ouie d'un dulcimer standard :

cliché R. Troughear, avec son aimable autorisation

En abscisses (axe horizontal) sont portées les fréquences en Hz et en ordonnées (axe vertical) apparaissent les niveaux sonores correspondants, enregistrés en dB. Les deux plus grands pics visibles à gauche du spectre ont précisément les deux mêmes fréquences que celles des notes produites en soufflant dans les ouïes de l'instrument. Le pic le plus à gauche (≈ 224 Hz) correspond aux ouïes les plus grandes dans le lobe inférieur (généralement le plus large) de l'instrument, et le pic voisin (≈ 340 Hz) aux ouïes les plus petites dans le lobe supérieur (petit lobe). Le premier pic est bien celui de la plus basse résonance de l'air A0, mais la nature du second reste mystérieuse. Compte-tenu en effet de leur plus petite surface, les petites ouvertures devraient produire une résonance de fréquence encore inférieure à celle de A0, selon la formule :

formule_Helmholtz

c est la célérité du son dans l'air, s la surface de l'ouverture, l son épaisseur et V le volume total de l'air enclos. Force est de constater qu'en fait cette fréquence est supérieure à celle de A0. Dans ce qui suit, cette seconde résonance de l'air sera symbolisé A0'.

Note: pour ajouter au mystère, mon dulcimer Stoney End (voir l'article Un peu d'anatomie, du 04/02/2018) possède des ouïes supérieures et inférieures de mêmes formes et dimensions, et pourtant les notes produites en soufflant dedans sont différentes.

Les autres pics correspondent aux ondes stationnaires internes ou modes acoustiques.

La contribution du bois aux résonances de l'instrument peut être évaluée en décomposant le son produit en tapant sur le chevalet à l'aide d'un petit maillet souple (en angl. bridge tap spectrum), les vibrations des cordes, toujours sous tension, étant étouffées par un tissu. En voici une illustration avec le même dulcimer (n°53) que ci-dessus:

cliché R. Troughear, avec son aimable autorisation

On retrouve les deux plus basses résonances de l'air A0 et A0', pratiquement aux mêmes fréquences, à l'erreur expérimentale près, ce qui est une indication du couplage des vibrations de l'air et du bois: l'air fait vibrer le bois aux mêmes fréquences que lui, et réciproquement. De nombreux pics dans le spectre des résonances du bois trouvent leur correspondance dans le spectre des résonances de l'air. Ceci suggère que les résonances de l'air jouent un rôle central dans le son produit par un dulcimer des Appalaches et qu'il y a des interactions air/bois sur une large gamme de fréquences.

L'avantage des tap spectra est qu'on peut étudier les résonances de l'air (vues au travers des résonances couplées du bois) tout en bouchant une ou plusieurs ouïes. Les résultats sont un peu surprenants. Quand on bouche les deux petites ouïes du lobe supérieur, la fréquence de A0 baisse de 5 à 6 demi-tons et celle de A0' de seulement 2 ou 3 demi-tons. Quand on bouche les deux grandes ouïes du lobe inférieur, A0 disparaît du spectre, comme attendu, mais A0' n'est pratiquement pas affectée. Bien sûr, aucune des deux résonances de l'air n'apparaît dans les spectres quand les quatre ouïes sont bouchées. Dans tous les cas, les résonances propres du bois ne sont pas affectées par ces manipulations.

C'est notamment le cas, dans notre exemple, du pic à 276 Hz (marqué 1B pour l'anglais Barr) dont on verra qu'il correspond au premier mode de barre, c'est à dire à un mode où le dulcimer dans son ensemble se comporte comme une poutre (ou barre) de section rectangulaire, un peu à la manière d'une barre de xylophone. Ce pic est très souvent retrouvé entre les deux plus basses résonances de l'air, mais il peut parfois être confondu avec l'un d'entre eux, en particulier A0', ce qui n'est pas pour simplifier les analyses. Ce mode de vibration est décrit plus en détails un peu plus loin.

Un quatrième pic (ici à 407 Hz, marqué 1W pour l'anglais Wood) correspond au premier mode de vibration du bois constitutif de la table d'harmonie et de la caisse de résonance, voire de la touche.

Il y a donc quatre fortes résonances, deux de l'air et deux du bois, dont les pics émergent distinctement des spectres. Ces résonances influencent probablement plus que toutes les autres la qualité générale du son d'un dulcimer standard. A l'aide d'un logiciel spécifique, on peut manipuler les fréquences du spectre d'une mélodie jouée sur un instrument, augmenter ou diminuer l'amplitude d'une fréquence donnée ou d'une plage de fréquences, ou ne conserver que cette plage. Les fréquences comprises entre 400 et 2000 Hz suffisent à reconnaître l'air joué, même s'il apparaît très plat mais celles situées en dessous de 400 Hz contribuent fortement à la chaleur et à la présence (angl. warmth and presence) du son. Au dessus de 2000 Hz on n'entend plus qu'un fin tintement (angl. thin tinkling), qui peut être supprimé sans dommage pour la qualité de l'audition.

150px-EchladniDans la tradition luthière, les plaques de bois destinées à la facture d'instruments sont "écoutées" en les tapant avec le dos de l'index. L'analyse à l'oreille du son ainsi produit revient à faire mentalement un frequency tap spectrum, ce qui demande une bonne dizaine d'années d'expérience, sinon plus. Une autre méthode, plus rigoureuse et accessible aux moins expérimentés, consiste à "voir" le son des plaques sous la forme d'images de Chladni.

chladni_modesErnst Chadni (1756-1827), dont on dit qu'il est le fondateur de l'acoustique moderne, faisait vibrer à l'aide d'un archet des plaques de différents matériaux et de différentes formes, fixées sur un pied en leur centre, après les avoir saupoudrées de sable fin. Selon l'endroit où frottait l'archet, ou en touchant la plaque, des vibrations de différentes fréquences pouvaient être produites qui déplaçaient le sable, le chassant des zones les plus mobiles (= ventres ou anti-nœuds) pour le concentrer aux points les moins mobiles (= nœuds) formant des dessins composés de lignes nodales.

Dans la version moderne de la technique, les plaques sont placées directement sur un générateur de fréquences ou juste au dessus d'un haut-parleur diffusant un son de fréquence variable, qui permet de chercher les pics de résonance. Voici les images de Chladni d'une plaque de dessus (à gauche, f = 539 Hz) et de fond (à droite, f = 403 Hz) de dulcimer, taillées exactement à la même forme et aux mêmes dimensions, mais dans des bois différents :

clichés R. Troughear, avec son aimable autorisation

Les dessins formés par les lignes nodales sont pratiquement les mêmes et caractéristiques de la forme des plaques à une fréquence donnée, mais cette fréquence est différente dans les deux cas, compte-tenu de la différence de bois. Elle est toujours plus basse pour un bois flexible (ici, la table d'harmonie) que pour un bois rigide (ici, le fond).

Dans le monde des guitares et des violons, l'écoute des plaques et/ou les images de Chaldni permettent aux luthiers d'accorder les plaques de bois, en en modifiant la forme ou l'épaisseur à certains endroits, jusqu'à obtenir le son ou l'image recherché(e). Une longue tradition professionnelle permet de relier certains profils de vibration des fonds et des tables d'harmonie avant assemblage à certaines qualités sonores des instruments finis.

atelier_luthierUne telle tradition n'existe pas dans le monde des dulcimers où les profils de vibration des plaquettes de bois changent si radicalement après assemblage dans l'instrument complet qu'ils perdent toute valeur prédictive. A l'usage, il semble impossible de faire correspondre les profils vibrationnels d'une pièce de dulcimer isolée avec une quelconque qualité du son final. Il faut se rabattre sur les profils vibrationnels de l'instrument fini, ce qui reste heureusement possible et permet de comprendre un peu mieux comment "fonctionne" un dulcimer des Appalaches, mais rend délicat tout retour en arrière pour rectifier une sonorité qui s'avère insatisfaisante.

Richard Troughear possède les profils de vibration de plusieurs dizaines de dulcimers contruits sur plusieurs années et il en ressort que des petits détails de construction font de chaque dulcimer un cas particulier. Un exemple est montré ci-après (dulcimer n°49), à titre d'illustration de ce travail considérable:

clichés R. Troughear, avec son aimable autorisation

Au delà des variations individuelles, des tendances générales se dégagent malgré tout :

1 - Les vibrations excitées par le haut-parleur suivent étroitement les résonances des spectres, ce qui est attendu et rassurant puisque ce sont juste deux méthodes différentes de mesure des  mêmes phénomènes.

2 - S'il y a une vibration du "dessus" (= table d'harmonie + touche collée) de l'instrument à une fréquence donnée, il y a presque toujours une vibration de la plaque du fond à la même fréquence ou à une fréquence très proche (d'où le classement des images dans les colonnes de droite et de gauche dans l'image). Souvent, le fond vibre "en sympathie" avec le dessus sans qu'on sache si les responsables de ce couplage sont les éclisses (= les côtés du dulcimer) ou l'air enclos entre les deux.

3 - Les modes de vibration des "dessus" ne semblent pas aussi nettement délimités que les modes du fond - les lignes nodales sont souvent plus diffuses. C'est probablement lié à la présence de la touche rigide collée sur la table d'harmonie.

4 - Les fréquences élevées produisent des profils plus complexes, particulièrement sur les fonds qui ne sont pas contraints par la touche. Au dessus de 600 Hz, les modes de vibration deviennent plus difficiles à identifier. Les profils des modes tendent à se superposer. Suivant les dulcimers, on peut avoir fusions ou absence de certaines résonances.

Quand il décide (entre autres) de la taille des ouïes et de leurs positions, des dimensions de la caisse de résonance ou de la touche, de la densité du bois utilisé, le luthier a quelque contrôle sur des résonances fortes individuelles (peut être jusqu'à 500 Hz). Au delà, toutes les fines résonances échappent à son controle. Voici un résumé des points stratégiques accessibles pour influencer la qualité générale du son d'un dulcimer des Appalaches.

La résonance de plus basse fréquence est la première résonance de l'air (A0, voir plus haut). Elle se situe entre 150 et 250 Hz, une fourchette relativement large qui dépend de la taille de la caisse de résonance et de sa rigidité, ainsi que des dimensions des ouïes. Des ouvertures plus petites, une caisse de plus grande capacité ou des bois plus flexibles abaisseront cette fréquence. Des ouvertures plus larges, un plus petit volume de caisse ou des bois plus denses et rigides l'augmenteront. N'oublions pas que ce sont justement la flexibilité du bois et le couplage air/bois résultant qui font la différence entre la fréquence de Helmholtz et la première résonance de l'air.

La rigidité du bois influence aussi ce mode de vibration. Un bois de fond flexible sans barrage (= sans entretoises) vibre sur presque toute sa surface, au niveau des deux lobes du dulcimer, comme illustré par l'image de gauche ci-dessous. Un bois naturellement plus rigide, ou rigidifié par des entretoises, peut voir ses vibrations limitées au grand lobe (image de droite), voire même produire une vibration générale, où la totalité de la surface vibre sur une gamme de fréquences, mais sans laisser de ligne nodale identifiable, et sans fréquence particulière (dans cette gamme) pour laquelle la vibration est plus forte.

clichés R. Troughear, avec son aimable autorisation

L'amplitude de la première résonance de l'air semble jouer sur la chaleur et la présence du son, au risque de le rendre "boomy" (le mot parle de lui-même), quand elle prend trop d'importance. Il faut également faire attention au volume de la caisse de résonance, dont l'augmentation ne doit pas mettre en jeu la hauteur des éclisses (= les côtés de la caisse). De fait, la rigidité d'un objet dépend de sa hauteur, qui intervient au cube dans le calcul du Second Moment de Surface ou Moment d'Inertie (MOI ou I). Augmenter la hauteur d'une caisse de résonance revient à la rendre plus rigide, ce qui élève la fréquence de A0 et la rapproche de celle, théorique, de la résonance de Helmholtz. L'effet d'une augmentation de volume peut donc être annulé par cette rigidification.

La résonance suivante, par ordre de fréquences croissantes, est la première résonance de barre (1B) qui dépend de la longueur, de la section transversale et de la masse du dulcimer (en particulier aux extrémités). Elle tombe dans une gamme de 220 à 350 Hz pour les dulcimers construits par R. Troughear. C'est la note qu'on entend en frappant en son milieu une barre de bois massif tenue à environ 1/5ème de sa longueur et c'est aussi la note produite quand on frappe une barre de xylophone ou de marimba. Le mode de vibration le plus simple d'une barre de longueur L est une courbure de la barre autour de sa position d'équilibre, faisant apparaître un ventre dans sa partie centrale et deux lignes nodales transversales à environ 0,22*L (≈ 1/5ème) de chaque extrémité :

mode_barre_1

Comme pour la première résonance de l'air, abaisser la fréquence de cette résonance rend généralement le son plus chaud et moëlleux, mais sans risquer l'effet "boomy". On identifie nettement ce mode de vibration par ses deux lignes nodales transversales (D17 ci-dessous), même si parfois la proximité de la seconde résonance de l'air en modifie légèrement la forme (D20). Le profil est généralement plus net au dos de l'instrument, car la rigidité de la touche collée sur la table d'harmonie peut en modifier légèrement la forme sur le "dessus" du grand lobe:

clichés R. Troughear, avec son aimable autorisation

Cette résonance peut aussi être influencée par la forme de l'instrument: un dulcimer sablier (angl. hourglass) avec une "taille de guêpe" séparant les deux lobes sera forcément moins rigide et plus apte à ployer qu'un dulcimer à la taille plus large, avec une première résonance de barre de plus basse fréquence, donc un son plus moëlleux.

Si on a bien la preuve d'un premier mode de barre dans la zone des fréquences entre 220 et 350 Hz, il n'existe aucune indication que le dulcimer vibre selon des modes de barre de plus haut niveau. Les modes de barre n'ont pas d'harmonique, car les facteurs de la fréquence fondamentale ne sont pas des nombres entiers. Les deux modes suivants seraient à 2,76* (≈ 600 - 1000 Hz; 2 ventres et 3 nœuds) et 5,44* (1200 - 1900 Hz; 3 ventres et 4 nœuds), amenant dans des régions du spectre moins importantes pour la qualité du son et de toutes façons inaccessibles au travail du luthier. La question reste de savoir si ces modes existent ou non - peut-être sont-ils simplement trop difficiles à voir dans ces plages de fréquences où les modes se chevauchent et se mélangent?

La résonance suivante est la seconde résonance de l'air (A0') et c'est la note produite en soufflant dans les petites ouïes du lobe supérieur. Elle semble agir comme une résonance de Helmholtz en ce sens que le bouchage des ouïes fait disparaître des spectres les deux plus basses résonances de l'air.

On ne sait cependant pas ce qui détermine sa fréquence, mais elle n'est corrélée ni à la capacité de la caisse ni à la surface des ouïes, en tous cas dans les instruments testés. Elle pourrait être liée à la forme de l'instrument d'une manière ou d'une autre, et peut-être aussi à la position des ouïes. On est plus dans le domaine de la spéculation que de l'expérimentation. Ses profils de vibration ressemblent beaucoup à ceux de la première résonance de l'air.

La quatrième résonance d'un dulcimer est généralement une première résonance du bois (1W). Aussi bien sur le dessus que sur le fond, les deux surfaces du lobe inférieur (le plus grand) vibrent fortement avec un mode simple, dit mode trampoline dans la région de 400 Hz, probablement en phase car aucun mouvement d'air n'est perçu au niveau des ouïes.

drum_mode_01

Pour le "dessus" de l'instrument, cela signifie nécessairement que la touche effectue les mêmes mouvements avec la même fréquence. Cette première résonance du bois est très certainement influencée par l'épaisseur et la densité du bois utilisé, donc sa rigidité. Au niveau du fond, les entretoises formant barrage lissent ces différences quand elles sont présentes. Elles ajoutent de la rigidité et transforment fréquemment la résonance du fond en vibration générale. C'est le cas du dulcimer (n°48) ci-dessous, où les lignes nodales sont bien visibles sur le desssus mais pas sur le fond, qui vibre très fortement malgé tout.

clichés R. Troughear, avec son aimable autorisation

Les éclisses (les côtés de l'instrument) doivent forcément se déformer pour accompagner le mouvement, et c'est là que leur rigidité (donc leur hauteur) a le plus d'effet.

Il reste à voir maintenant si le luthier peut manipuler ces résonance dans l'espoir d'obtenir un son particulier, par exemple plus moëlleux ou plus brillant. C'est encore une longue histoire qui fera l'objet d'un prochain article.

A+